Что такое дифференцирование простым языком + видео обзор

Дифференцирование

Под термином дифференцирование могут подразумевать различные родственные понятия.

Список значений слова или словосочетания со ссылками на соответствующие статьи. Если вы попали сюда из другой статьи Википедии, пожалуйста, вернитесь и уточните ссылку так, чтобы она указывала на статью.

Смотреть что такое «Дифференцирование» в других словарях:

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — 1) в высшей математ. производство математического анализа посредством дифференциального исчисления; 2) д. или дифференциация разделение одного сложного целого на части, характеризующиеся разными признаками; выделение самостоятельных частей.… … Словарь иностранных слов русского языка

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление … Большой Энциклопедический словарь

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, в математике метод оценки производной некоторой данной функции. Методики ИНТЕГРИРОВАНИЯ и дифференцирования вместе составляют предмет ИСЧИСЛЕНИЙ и находят широкое применение почти во всех областях ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ. см.… … Научно-технический энциклопедический словарь

дифференцирование — ДИФФЕРЕН ИРОВАТЬ, рую, руешь; анный; сов. и несов., что. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

дифференцирование — сущ., кол во синонимов: 6 • дифференциация (11) • дифференцировка (2) • разграни … Словарь синонимов

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — Расчленение, различение, выделение составляющих элементов при рассмотрении, изучении производственных процессов, экономических явлений, тенденций и т.д. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

дифференцирование — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN differentiation … Справочник технического переводчика

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — кольца отображение дкольца Rв себя, ( являющееся эндоморфизмом аддитивной группы кольца Rи удовлетворяющее соотношению Пусть М левый R модуль. Дифференцированием кольца Л со значениями в Мназ. гомоморфизм соответствующих аддитивных групп,… … Математическая энциклопедия

дифференцирование — я; ср. кого что. к Дифференцировать и Дифференцироваться. Д. цен. Д. дохода. * * * дифференцирование операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление. * * * ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, операция… … Энциклопедический словарь

дифференцирование — diferencijavimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. differentiation vok. Differentiation, f rus. дифференцирование, n pranc. différentiation, f … Fizikos terminų žodynas

Источник

Производная

Понятие производной

Производная функции − это результат дифференцирования функции.

Дифференцирование в математике — это процесс, при котором функция f превращается в другую функцию f’ («производная от f»).

Простыми словами, производная — это средний наклон между двумя точками:

Интегрирование — это обратный процесс, т. е. восстановление функции по данной производной.

Например, функция x² (на графике выше) является одним из интегралов от 2x (пунктирная синяя линия), поскольку производная x² равна 2x.

Геометрический смысл производной функции

Производная функции f(x) в данной точке — это наклон касательной f(x) в точке a, как показано на рисунке.

Эта прямая линия образует угол, который на данном рисунке мы назвали β и он зависит от наклона касательной (она является производной в данной точке). Таким образом: tan β = f´(a).

Физический смысл производной функции

Представьте точку, которая движется по прямой с постоянно меняющейся скоростью. Её скорость постоянно меняется, поэтому она рассчитывается в момент «t0». Для этого нам нужно рассчитать короткий промежуток времени Δt, а расстояние, которое точка пройдёт за это время будет ΔS.

Таким образом её скорость будет примерно ΔS / Δt. Чем меньше промежуток времени Δt, тем точнее будет результат (скорость). Самую точную мгновенную скорость точки в момент t0 можно получить, если рассчитать предел Δt —>0. Таким образом:

Таблица производных функций

Как пользоваться этой таблицей?

Например, производная линейной функции a*x равна константе, стоящей вместе с переменной x, т. е.: (а*x)′ = а.

Или нужно найти производную функции f(x) = 2 cos x:

f’(x) = (2 cos x)’ = 2 (cos x)’ = 2 (– sin x) = –2 sin x

Как найти производную?

Пример 1

Степень от x спускается и из неё нужно вычесть 1.

Пример 2

f'(x) = 3*3x² – 2*5x¹ + 6 − 0

Пример 3

Нужно сначала раскрыть скобки:

Теперь можно приступать к поиску производной, как и в предыдущих примерах степень от x спускается и из неё нужно вычесть 1:

Пример 4

Переведём сначала корень в степень:

Теперь можно производить вычисления производной с обычной формулой степеней:

Можно остановиться здесь, но бывает, что ответ с корнем в знаменателе не считается совсем правильным, поэтому умножаем всю вторую дробь на «√x/√x».

Значит правильный и «красивый» ответ:

Пример 5

Из таблицы мы знаем:

Так как это вычитание, осталось только подставить:

Сложные функции — примеры

Правило сложной функции:

(u (v))´ = u´ (v) * v´

Пример

1. Сначала нужно разобраться, что «arctg x» является нашей простой (внутренней) частью функции, это наше “v” формулы.

2. Применяем формулу корня из таблицы в левой части, получится 1/2 √arctg x, оставляя правую нерешённой.

3. Применяем формулу arctg x из таблицы (1/ (1 + x²)).

4. Совмещаем и готово

4.1. Если хотите «красивый» ответ, нужно убрать корень из знаменателя, умножая всю эту дробь на √arctgx / √arctgx.

Получится √arctgx / (2 (1 + x²) arctgx)

Как определить знак производной?

1. Определить точки, в которых производная равна нулю (также называются критическими точками).

2. Начертить таблицу, в которую вставляются все критические точки, а между ними оставляются незаполненными по одному окошку.

3. Выбрать значения x до и после полученного интервала, подставить в производную. Если значение получилось больше нуля, то знак будет плюс, если меньше — минус.

Пример:

Её производная y’ = 2x – 6.

Расчёт критических точек:

Значит в нашей таблице будет только одна критическая точка x = 3, и оставим место на «до» и «после».

Далее выбираем любой x сначала меньше 3, а потом больше 3.

1. для x 3 выбираем, например, x = 4 и подставляем в производную y’ = 2x – 6 ⇔ y’(4) = 2 * 4 – 6 = 2 >0, значит в таблицу записываем «+» (это означает, что в этой точке функция возрастает).

Вторая производная

Можно вычислить и «производную производной», обозначается она как y’’. Если использовать предыдущий пример:

Её физический смысл: это скорость изменения скорости движения точки, которая принадлежит графику функции.

Что такое композиция функций?

Иногда называется сложной функцией.

Сложная функция обычно записывается как (f o g) (x), т. е. можно «изобразить g (x) через f (x)» или наоборот.

Например, даны две функции: f (x) = 2x + 3 и g (x) = – x² + 5.

Требуется узнать (f o g) (x), это означает «f (g (x))».

Нужно подставить в функцию f (вместо x) функцию g

(f o g) (x) = f (g (x)) = f (–x² + 5) = 2 (–x² + 5) + 3 = – 2x² + 10 + 3 = – 2x² + 13

Если нужно узнать (g o f) (x), это «g (f (x))».

(g o f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 3) = – (2x + 3)² + 5 = – (4х² + 12x + 9) + 5 = – 4х² – 12x – 9 + 5 = – 4х² – 12x – 4

Источник

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Смотреть что такое «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ» в других словарях:

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — 1) в высшей математ. производство математического анализа посредством дифференциального исчисления; 2) д. или дифференциация разделение одного сложного целого на части, характеризующиеся разными признаками; выделение самостоятельных частей.… … Словарь иностранных слов русского языка

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление … Большой Энциклопедический словарь

дифференцирование — ДИФФЕРЕН ИРОВАТЬ, рую, руешь; анный; сов. и несов., что. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

дифференцирование — сущ., кол во синонимов: 6 • дифференциация (11) • дифференцировка (2) • разграни … Словарь синонимов

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — Расчленение, различение, выделение составляющих элементов при рассмотрении, изучении производственных процессов, экономических явлений, тенденций и т.д. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

дифференцирование — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN differentiation … Справочник технического переводчика

Дифференцирование — Под термином дифференцирование могут подразумевать различные родственные понятия. Дифференцирование операция взятия полной или частной производной функции. Дифференцирование линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница.… … Википедия

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — кольца отображение дкольца Rв себя, ( являющееся эндоморфизмом аддитивной группы кольца Rи удовлетворяющее соотношению Пусть М левый R модуль. Дифференцированием кольца Л со значениями в Мназ. гомоморфизм соответствующих аддитивных групп,… … Математическая энциклопедия

дифференцирование — я; ср. кого что. к Дифференцировать и Дифференцироваться. Д. цен. Д. дохода. * * * дифференцирование операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление. * * * ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, операция… … Энциклопедический словарь

дифференцирование — diferencijavimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. differentiation vok. Differentiation, f rus. дифференцирование, n pranc. différentiation, f … Fizikos terminų žodynas

Источник

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

— операция, края относит функции ее производную или дифференциал. При этом речь может идти о производной или дифференциале в точке или на нек-ром множестве, о частных производных, о производной по направлению, о частных и полных дифференциалах, а сами функции могут быть не только числовыми, но и функциями более общей природы. г.

Смотреть что такое «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ» в других словарях:

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — 1) в высшей математ. производство математического анализа посредством дифференциального исчисления; 2) д. или дифференциация разделение одного сложного целого на части, характеризующиеся разными признаками; выделение самостоятельных частей.… … Словарь иностранных слов русского языка

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление … Большой Энциклопедический словарь

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, в математике метод оценки производной некоторой данной функции. Методики ИНТЕГРИРОВАНИЯ и дифференцирования вместе составляют предмет ИСЧИСЛЕНИЙ и находят широкое применение почти во всех областях ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ. см.… … Научно-технический энциклопедический словарь

дифференцирование — ДИФФЕРЕН ИРОВАТЬ, рую, руешь; анный; сов. и несов., что. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

дифференцирование — сущ., кол во синонимов: 6 • дифференциация (11) • дифференцировка (2) • разграни … Словарь синонимов

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — Расчленение, различение, выделение составляющих элементов при рассмотрении, изучении производственных процессов, экономических явлений, тенденций и т.д. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

дифференцирование — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN differentiation … Справочник технического переводчика

Дифференцирование — Под термином дифференцирование могут подразумевать различные родственные понятия. Дифференцирование операция взятия полной или частной производной функции. Дифференцирование линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница.… … Википедия

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — кольца отображение дкольца Rв себя, ( являющееся эндоморфизмом аддитивной группы кольца Rи удовлетворяющее соотношению Пусть М левый R модуль. Дифференцированием кольца Л со значениями в Мназ. гомоморфизм соответствующих аддитивных групп,… … Математическая энциклопедия

дифференцирование — я; ср. кого что. к Дифференцировать и Дифференцироваться. Д. цен. Д. дохода. * * * дифференцирование операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление. * * * ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, операция… … Энциклопедический словарь

дифференцирование — diferencijavimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. differentiation vok. Differentiation, f rus. дифференцирование, n pranc. différentiation, f … Fizikos terminų žodynas

Источник

Дифференцирование

Смотреть что такое «Дифференцирование» в других словарях:

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — 1) в высшей математ. производство математического анализа посредством дифференциального исчисления; 2) д. или дифференциация разделение одного сложного целого на части, характеризующиеся разными признаками; выделение самостоятельных частей.… … Словарь иностранных слов русского языка

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление … Большой Энциклопедический словарь

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, в математике метод оценки производной некоторой данной функции. Методики ИНТЕГРИРОВАНИЯ и дифференцирования вместе составляют предмет ИСЧИСЛЕНИЙ и находят широкое применение почти во всех областях ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ. см.… … Научно-технический энциклопедический словарь

дифференцирование — ДИФФЕРЕН ИРОВАТЬ, рую, руешь; анный; сов. и несов., что. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

дифференцирование — сущ., кол во синонимов: 6 • дифференциация (11) • дифференцировка (2) • разграни … Словарь синонимов

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — Расчленение, различение, выделение составляющих элементов при рассмотрении, изучении производственных процессов, экономических явлений, тенденций и т.д. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

дифференцирование — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN differentiation … Справочник технического переводчика

Дифференцирование — Под термином дифференцирование могут подразумевать различные родственные понятия. Дифференцирование операция взятия полной или частной производной функции. Дифференцирование линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница.… … Википедия

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — кольца отображение дкольца Rв себя, ( являющееся эндоморфизмом аддитивной группы кольца Rи удовлетворяющее соотношению Пусть М левый R модуль. Дифференцированием кольца Л со значениями в Мназ. гомоморфизм соответствующих аддитивных групп,… … Математическая энциклопедия

дифференцирование — я; ср. кого что. к Дифференцировать и Дифференцироваться. Д. цен. Д. дохода. * * * дифференцирование операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление. * * * ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, операция… … Энциклопедический словарь

дифференцирование — diferencijavimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. differentiation vok. Differentiation, f rus. дифференцирование, n pranc. différentiation, f … Fizikos terminų žodynas

Источник

Видео

Производная функции простыми словами. Смысл производной. Наглядно, доходчиво и понятно

ПРОИЗВОДНАЯ функции. Объяснение математического смысла.

ЗАЧЕМ НУЖНЫ ЭТИ... производные! Математика на QWERTY.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ЗА 8 МИНУТ. ПРИМЕР (ВСЕ ВИДЫ)

Производная и дифференцирование простым языком

Математика Без Ху{a47c00a1996a64a2145764bc9f608acb943865b2eadd21c2af8fa308981ee3ea}!ни. Производная сложной функции.

4. Вычисление производных примеры. Самое начало.

Математика без ху{a47c00a1996a64a2145764bc9f608acb943865b2eadd21c2af8fa308981ee3ea}!ни. Интегралы, часть 1. Первообразная. Дифференцирование и интегрирование.

Дифференциал функции

✓ Производная. Начало | Ботай со мной #056 | Борис Трушин