Предел на языке эпсилон дельта + видео обзор

Ответы к ГОСу / 5

5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке «эпсилон-дельта» и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие по некоторому закону вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1, x2,…, xn. = <xn> называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значеня.

Число A называется пределом последовательности при Предел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта Предел на языке эпсилон дельтаесли  >0  такой номер N0>0:  n > N0: Предел на языке эпсилон дельта

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный Предел на языке эпсилон дельта, то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A =  или lim не ) последовательность называется расходящейся.

Точка x0 называется предельной точкой множества M, если в  окрестности x0 содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности Предел на языке эпсилон дельта, а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности Предел на языке эпсилон дельта.

Предел на языке эпсилон дельта– неконечный, Предел на языке эпсилон дельта– неконечный.

Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число).

Последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для Предел на языке эпсилон дельта

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если Предел на языке эпсилон дельта, то последовательность <xn> называется бесконечно малой.

Если Предел на языке эпсилон дельта– бесконечно большой.

Связь неограниченная Предел на языке эпсилон дельтабесконечно большая: бесконечно большая  неограниченная

бесконечно большая  неограниченная. Обратное не верно:

Предел на языке эпсилон дельта

не бесконечно большая

Функцией y = f(x) называется закон, по которому каждому значению xD(f)R ставится в соответствие единственное действительное число yR.

При этом множество значений аргумента D(f) называется областью определения функции, а множество значений <y | y = f(x), xD(f)> называется множеством значений функции.

Функция может быть задана аналитически (то есть формулой), таблично или графически.

Предел на языке эпсилон дельта

Если функция задана таблично, то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию, заменяя функцию линейной, квадратичной на участке между двумя значениями аргумента.

Пусть точка x0 является предельной точкой области определения функции, тогда

Предел на языке эпсилон дельта для  > 0  > 0:  xD(f)  O(x0) \ <x0>: f(x)  O(A)

Предел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта для  > 0  > 0:  x: Предел на языке эпсилон дельтаПредел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта для  > 0  > 0:  x: Предел на языке эпсилон дельтаПредел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта Предел на языке эпсилон дельтаПредел на языке эпсилон дельта

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

Предел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта.

На языке пределов: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она:

1) определена в этой точке;

2) Предел на языке эпсилон дельта

На языке ε и δ: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

1) Предел на языке эпсилон дельта

1. Если x0 является предельной точкой D(f)

fПредел на языке эпсилон дельта(x0+) = A 2 / |x|)

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на множестве X.

Сумма Предел на языке эпсилон дельта, произведение Предел на языке эпсилон дельта, частноеПредел на языке эпсилон дельта, суперпозиция Предел на языке эпсилон дельтаесть функция непрерывная.

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

Исследовать на непрерывность, точки разрыва

Предел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта

Функция элементарна. В своей области определения непрерывна

0 – предельная точка для ОДЗ. Но функция не определена в 0 Предел на языке эпсилон дельтаэто точка разрыва.

Предел на языке эпсилон дельта– разрыв II рода.

Предел на языке эпсилон дельта– неэлементарная функция

Определение непрерывности функции по Гейне

Функция непрерывна в точке x0, если:

1. она определена в точке x0, то есть Предел на языке эпсилон дельта;

2. для  Предел на языке эпсилон дельтапоследовательность Предел на языке эпсилон дельта.

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Источник

Предел функции в точке и на бесконечности

Предел на языке эпсилон дельта Предел на языке эпсилон дельта Предел на языке эпсилон дельта Предел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта

Тема 1. Предел функции

Раздел: Предел и непрерывность функции

Допустим, что функция Предел на языке эпсилон дельтаопределена в некоторой области Предел на языке эпсилон дельта. Будем рассматривать понятие предела функции Предел на языке эпсилон дельтав точке Предел на языке эпсилон дельта.

Можно дать определение функции в точке по Гейне (см. конспект1-го курса) и по Коши.

Определение 1 (по Гейне). Число Предел на языке эпсилон дельтаназывается пределом функции Предел на языке эпсилон дельтав точке Предел на языке эпсилон дельта, если функция Предел на языке эпсилон дельтаопределена в некоторой окрестности точки Предел на языке эпсилон дельта(за исключением, может быть, самой точки Предел на языке эпсилон дельта), и для всякой последовательности Предел на языке эпсилон дельтаиз окрестности Предел на языке эпсилон дельтаи Предел на языке эпсилон дельта, последовательность соответствующих значений функции сходится к числу Предел на языке эпсилон дельта, т.е. Предел на языке эпсилон дельта.

Предел на языке эпсилон дельта.

Определение 2 (по Коши).Число А называется пределом функции Предел на языке эпсилон дельтав точке Предел на языке эпсилон дельта, если для любого сколь угодно малого числа Предел на языке эпсилон дельтанайдется такое число Предел на языке эпсилон дельта, что для всех таких Предел на языке эпсилон дельта, что

Предел на языке эпсилон дельта(1)

Предел на языке эпсилон дельта. (2)

Заметим, что число Предел на языке эпсилон дельтавыбирается как «своё» (по значению) для каждой точки Предел на языке эпсилон дельтаи для каждого Предел на языке эпсилон дельта, т.е. Предел на языке эпсилон дельта.

Первое определение называется также определением предела функции «на языке последовательностей», а второе – определением предела «на языке Предел на языке эпсилон дельта» (эпсилон-дельта).

Определение 2 можно дать в геометрической форме. Используя свойство модуля неравенство (1) можно записать в виде

Предел на языке эпсилон дельта, т.е.

Предел на языке эпсилон дельта,

Предел на языке эпсилон дельта.

Аналогично из (2) Предел на языке эпсилон дельта.

Определение 3 (геометрическая форма определения Коши). Число А – предел функции Предел на языке эпсилон дельтав точке Предел на языке эпсилон дельта, если функция Предел на языке эпсилон дельтаопределена в некоторой проколотой окрестности точки Предел на языке эпсилон дельтаи если для всякой Предел на языке эпсилон дельтаокрестности точки А существует проколотая Предел на языке эпсилон дельтаокрестность точки Предел на языке эпсилон дельтатакая, что как только аргумент Предел на языке эпсилон дельтапринадлежит этой проколотой Предел на языке эпсилон дельтаокрестности, то значение функции принадлежит Предел на языке эпсилон дельтаокрестности точки А.

Дадим графическую иллюстрацию этого определения.

Для того, чтобы доказать графически, что число А является пределом функции в точке Предел на языке эпсилон дельта, необходимо выбрать произвольную Предел на языке эпсилон дельтаокрестность точки А, т.е. интервал с центром в точке А длины Предел на языке эпсилон дельта, который лежит на оси Предел на языке эпсилон дельта. Для каждого произвольного Предел на языке эпсилон дельтаинтервала доказать, что существует Предел на языке эпсилон дельтаинтервал точки Предел на языке эпсилон дельтана оси Предел на языке эпсилон дельта, что как только рассматривает аргументы из этого интервала, то соответствующие значения функции попадают в Предел на языке эпсилон дельтаинтервал точки А.

Предел на языке эпсилон дельта

Можно доказать эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне.

Не всякая функция имеет предел в точке. Например, функция Предел на языке эпсилон дельтав точке Предел на языке эпсилон дельтапредела не имеет. В этой точке он неопределен вообще. Не имеет предела в точке Предел на языке эпсилон дельтафункция Предел на языке эпсилон дельта. По определению предела это должно быть число. Функция Предел на языке эпсилон дельтапри Предел на языке эпсилон дельтане стремится к конечному числу.

Т.о. относительно предела функции в точке возможны следующие случаи:

I.Функция имеет предел в точке. Это число.

II. Функция не имеет предела в точке:

1)она является бесконечно большой в этой точке, и хотя предела в этом случае нет, записывают

Предел на языке эпсилон дельта.

2)Предел не определен вообще и не ясно, к чему стремится функция в данной точке.

Кроме определения предела в точке рассматривают предел функции на бесконечности, т.е. при Предел на языке эпсилон дельта. В этом случае Предел на языке эпсилон дельтаокрестностью называется множество точек Предел на языке эпсилон дельта. Относительно предела функции на бесконечности возможны следующие случаи:

I. Предел существует, и это число (рис. 1);

II. Предел не существует:

1) Предел на языке эпсилон дельта, т.е. функция является бесконечно большой, и записывают Предел на языке эпсилон дельта(рис.2);

2) предел неопределен вообще (рис. 3).

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Определение предела и число эпсилон

Предел на языке эпсилон дельта

1. Предел последовательности.
Цитирую:

2. Геометрический смысл того же предела последовательности:

Заранее благодарен за ответ.

Заслуженный участник
Предел на языке эпсилон дельта

Заслуженный участник
Предел на языке эпсилон дельта

Последний раз редактировалось ИСН 16.02.2013, 20:14, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник
Предел на языке эпсилон дельта

Заслуженный участник
Предел на языке эпсилон дельта

Заслуженный участник
Предел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта

Последний раз редактировалось henehen 16.02.2013, 22:34, всего редактировалось 3 раз(а).

PS. Причём, что самое интересное, такая привычка «объяснять» через левые переменные навроде эпсилонов и дельт сохраняется практически во всех учебниках и методичках, что весьма здорово способствует механическому использованию математики (не вникая ни во что) и убивает напрочь желание учиться.

И вообще, если кто-то мне объяснит человеческим языком на пальцах всю эту эпсилон-дельту технику, то я буду нечеловечески ему благодарен =)

Заслуженный участник
Предел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта

Предел на языке эпсилон дельта

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Видео

Предел ФУНКЦИИ по КОШИ (определение). Язык "эпсилон - дельта"

Предел ФУНКЦИИ по КОШИ (определение). Язык "эпсилон - дельта"

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1

[Calculus | глава 7] Пределы, правило Лопиталя и эпсилон-дельта определение

[Calculus | глава 7] Пределы, правило Лопиталя и эпсилон-дельта определение

✓ Предел функции. Определение предела функции "по Коши" и "по Гейне" | матан #014 | Борис Трушин

✓ Предел функции. Определение предела функции "по Коши" и "по Гейне" | матан #014 | Борис Трушин

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1

20. Предел функции в точке, определение по Гейне и по Коши.

20. Предел функции в точке, определение по Гейне и по Коши.

Определение предела по Коши

Определение предела по Коши

#1 Геом. интерпретация пределов / Эпсилон-Дельта

#1 Геом. интерпретация пределов / Эпсилон-Дельта
Поделиться или сохранить к себе:
Добавить комментарий

Нажимая на кнопку "Отправить комментарий", я даю согласие на обработку персональных данных, принимаю Политику конфиденциальности и условия Пользовательского соглашения.