Предел на языке кванторов + видео обзор

Методическое пособие «Введение в теорию пределов» для учащихся 10–11-х профильных классов

Разделы: Математика

I. Введение в теорию пределов.

§1. Действительные числа.

Множество всех рациональных и иррациональных чисел называют множеством действительных чисел. Абсолютной величиной действительного числа X называется неотрицательное число:

Справедливы следующие свойства абсолютных величин действительных чисел:

1. Для любого XєR (R– обозначение множества действительных чисел.

2. Для любых XєR и YєR

Предел на языке кванторов

6. Неравенство │X│ ≤ Y эквивалентно двум неравенствам –Y ≤ X ≤ Y.

§2. Кванторы Предел на языке кванторови Предел на языке кванторов.

В дальнейшем во многих определениях и теоремах мы будем пользоваться символами Предел на языке кванторови Предел на языке кванторов, которые называют кванторами. Предел на языке кванторов– квантор существования, Предел на языке кванторов– квантор общности.

Например, запись Предел на языке кванторовxєX : x ≥ 3 (1) читается так: “ Любой элемент х, принадлежащий множеству Х, удовлетворяет неравенству х ≥ 3”.

Высказывание Предел на языке кванторовхєХ: х ≠ 0 (2), читается так: “Существует элемент х, принадлежащий множеству Х, отличный от 0.

Существует закон, связывающий эти кванторы со знаком отрицания. Например, отрицание высказывания (1) будет строиться следующим образом:

Последовательность n> называ ется ограниченной, если Предел на языке кванторови неограниченной, если Предел на языке кванторов.

Определение. Число а называется пределом последовательности n>если

Предел на языке кванторов

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограниченна.

Сформулировать на языке » ε – N » определение того, что число а не является пределом последовательности n>

Пользуясь правилом построения отрицания, получим:

Предел на языке кванторов

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Предел на языке кванторов

Свойства сходящихся последовательностей.

Предел на языке кванторов

Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на Х, если

Предел на языке кванторов

Функция y = f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) если

Если функция y = f(x) строго монотонна, то обратная функция является строго монотонной.

Функция y = f(x) называется ограниченной на Х, если Предел на языке кванторови неограниченной, если Предел на языке кванторов

Определение. Точка a называется предельной точкой множества Х, если любая окрестность точки a содержит точки множества Х отличные от a.

Определение 1. (Коши)

Число А называется пределом функции y = f(x) в точке a (A= limx →af(x) ), если

Определение 2. (Гейне)

Число А называется пределом функции y = f(x) в точке a (A= limx →af(x) ), если
Предел на языке кванторовто есть, если для любой последовательности <xn> из множества Х, xna сходящейся к a, последовательность соответствующих значений функций <f(xn)> сходится к числу А.

Отметим, что в самой точке a функция y = f(x) может быть и не определена.

Составим отрицание определения по Коши:

Число А не является пределом функции y= f(x) в точке a (A= limx →af(x) ), если

Предел на языке кванторов

Число А1 называется пределом функции y = f(x) слева (левосторонний предел) в точке а :

Предел на языке кванторов

Число А2 называется пределом функции y = f(x) справа (правосторонний предел) в точке а :

Предел на языке кванторов

Для существования предела функции y = f(x) в точке a необходимо и достаточно, чтобы

Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

Предел на языке кванторов

Арифметические свойства предела функции в точке.

Примеры на вычисление пределов.

Предел на языке кванторов

Умножим на Предел на языке кванторовчислитель и знаменатель первоначальной дроби (на сопряженное числителю).

Предел на языке кванторов

Предел на языке кванторов

§7. Непрерывность функции.

Пусть f(x) определена на Х и х0 – предельная точка Х.

Определение. Функция называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке, существует предел функции в этой точке и предел равен значению функции в этой точке.

Предел на языке кванторов

Предел на языке кванторов

Определение. Функция называется непрерывной на множестве(интервале, сегменте и т.д.), если она непрерывна в каждой точке этого множества.

§8. Производная функции.

Определение. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0.

Приращением функции в точке х0 называется функция аргумента Предел на языке кванторов

Предел на языке кванторов

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Приведем таблицу производных элементарных функций:

Предел на языке кванторов

Геометрический смысл производной.

f'(x0) – есть угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0, f(x0)).

Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке (x0, f(x0)) имеет вид:

Основные правила дифференцирования.

Предел на языке кванторов

Производная сложной функции.

Если функция u =g(x) имеет в точке х0 производную g'(x0) функция y = f(u) имеет в точке u0 = g(x0) производную f'(u0), то сложная функция y =f[g(x)]=F(x) имеет в точке х0 имеет производную и F'(x0) = f'(u0)g'(x0).

Источник

Универсальное определение предела функции по Гейне и по Коши

Предел на языке кванторов

Первое определение предела функции (по Гейне)

Здесь x 0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Второе определение предела функции (по Коши)

Точки x 0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность также может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

В этом определении используются окрестности с равноудаленными концами. Можно дать и эквивалентное определение, используя произвольные окрестности точек.

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать так:
.

На странице «Окрестность точки» мы показали, что определение предела функции с использованием более простой окрестности с равноудаленными концами эквивалентно определению, в котором используется произвольная окрестность. Формулировка второго определения по Коши имеет более общий вид, и оно часто используется при доказательстве теорем. Первое определение, в математическом смысле, проще. Его удобно применять в вычислениях.

Более подробно определение Коши для конечных точек рассматривается на странице «Определение предела функции в конечной точке»; для бесконечно удаленных точек – на странице «Определение предела функции на бесконечности».

Односторонние и двусторонние пределы

Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения и в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.
См. «Окрестность точки».

Определение, что точка a не является пределом функции

Предел на языке кванторов

Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши

Теорема
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

При доказательстве мы предполагаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Точка a также может быть конечной или бесконечно удаленной.

Доказательство Гейне ⇒ Коши

Первая часть доказана.

Доказательство Коши ⇒ Гейне

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Источник

Логические операции. Кванторы

Логические операции

В любом национальном языке употребляемые в обычной речи связки “и”, “или”, “если …, то …”, “тогда и только тогда, когда …” и т.п. позволяют из уже заданных высказываний строить новые сложные высказывания. Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями. Логическая операция полностью может быть описана таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает сложное высказывание при всех возможных значениях простых высказываний.

Логической операцией называется способ построения сложного высказывания из элементарных высказываний, при котором истинностное значение сложного высказывания полностью определяется истинностными значениями исходных высказываний (см. статью “Высказывания. Логические значения”).

В алгебре логики логические операции и соответствующие им логические связки имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:

Предел на языке кванторов

Предел на языке кванторов

Предел на языке кванторов

Рассмотрим два высказывания: p = “Колумб был в Индии” и q = “Колумб был в Египте”. Очевидно, что новое высказывание p Предел на языке кванторовq = “Колумб был в Индии или был в Египте” истинно как в случае, если Колумб был в Индии, но не был в Египте, так и в случае, если он не был в Индии, но был в Египте, а также в случае, если он был и в Индии, и в Египте. Но это высказывание будет ложно, если Колумб не был ни в Индии, ни в Египте.

Союз “или” может применяться в речи и в другом, “исключающем” смысле. Тогда он соответствует другому высказыванию — разделительной, или строгой, дизъюнкции.

Строгая, или разделительная, дизъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным только тогда, когда только одно из высказываний является истинным. Логическая операция разделительная дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:

Предел на языке кванторов

Рассмотрим два высказывания: p = “Кошка охотится за мышами” и q = “Кошка спит на диване”. Очевидно, что новое высказывание p Предел на языке кванторов q истинно только в двух случаях — когда кошка охотится за мышами либо когда кошка мирно спит. Это высказывание будет ложно, если кошка не делает ни того, ни другого, т.е. когда оба события не происходят. Но это высказывание будет ложным и тогда, когда предполагается, что оба высказывания произойдут одновременно. В силу того, что этого произойти не может, высказывание и является ложным.

В логике связкам “либо” и “или” придается разное значение, однако в русском языке связку “или” иногда употребляют вместо связки “либо”. В этих случаях однозначность определения используемой логической операции связана с анализом содержания высказывания. Например, анализ высказывания “Петя сидит на трибуне А либо на трибуне Б” заменить на “Петя сидит на трибуне А или Б”, то анализ последнего высказывания однозначно укажет на логическую операцию разделительная дизъюнкция, т.к. человек не может находиться в двух разных местах одновременно.

Импликация — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (посылка) — истинно, а следствие (заключение) — ложно. Подавляющее число зависимостей между событиями можно описать с помощью импликации. Например, высказыванием “Если на каникулах мы поедем в Петербург, то посетим Исаакиевский собор” мы утверждаем, что в случае приезда на каникулах в Петербург Исаакиевский собор мы посетим обязательно.

Логическая операция импликация задается следующей таблицей истинности:

Предел на языке кванторов

Импликация будет ложной только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно, и она заведомо будет истинна, если ее условие p ложно. Причем для математика это вполне естественно. В самом деле, исходя из ложной посылки, можно путем верных рассуждений получить как истинное, так и ложное утверждение.

Допустим, 1 = 2, тогда и 2 = 1. Складывая эти равенства, мы получим 3 = 3, т.е. из ложной посылки путем тождественных преобразований мы получили истинное высказывание.

Импликация, образованная из высказываний А и В, может быть записана при помощи следующих предложений: “Если А, то В”, “Из А следует В”, “А влечет В”, “Для того чтобы А, необходимо, чтобы В”, “Для того чтобы В, достаточно, чтобы А”.

Эквивалентность — логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Логическая операция эквивалентность задается следующей таблицей истинности:

Предел на языке кванторов

Рассмотрим возможные значения сложного высказывания, являющегося эквивалентностью: “Учитель поставит ученику 5 в четверти тогда и только тогда, когда ученик получит 5 на зачете”.

1) Ученик получил 5 на зачете и 5 в четверти, т.е. учитель выполнил свое обещание, следовательно, высказывание является истинным.

2) Ученик не получил на зачете 5, и учитель не поставил ему 5 в четверти, т.е. учитель свое обещание сдержал, высказывание является истинным.

3) Ученик не получил на зачете 5, но учитель поставил ему 5 в четверти, т.е. учитель свое обещание не сдержал, высказывание является ложным.

4) Ученик получил на зачете 5, но учитель не поставил ему 5 в четверти, т.е. учитель свое обещание не сдержал, высказывание является ложным.

Отметим, что в математических теоремах эквивалентность выражается связкой “необходимо и достаточно”.

Рассмотренные выше операции были двухместными (бинарными), т.е. выполнялись над двумя операндами (высказываниями). В алгебре логики определена и широко применяется и одноместная (унарная) операция отрицание.

Отрицание — логическая операция, которая каждому элементарному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному. Логическая операция отрицание задается следующей таблицей истинности:

Предел на языке кванторов

В русском языке для построения отрицания используется связка “неверно, что …”. Хотя связка “неверно, что …” и не связывает двух каких-либо высказываний в одно, она трактуется логиками как логическая операция, поскольку, поставленная перед произвольным высказыванием, образует из него новое.

Отрицанием высказывания “У меня дома есть компьютер” будет высказывание “Неверно, что у меня дома есть компьютер” или, что в русском языке то же самое, “У меня дома нет компьютера”. Отрицанием высказывания “Я не знаю китайского языка” будет высказывание “Неверно, что я не знаю китайского языка” или, что в русском языке одно и то же, “Я знаю китайский язык”.

Кванторы

В математической логике наряду с логическими операциями используются и кванторы. Квантор (от лат. quantum — сколько) — логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате ее применения.

В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа все, каждый, некоторый, любой, всякий, бесконечно много, существует, имеется, единственный, несколько, конечное число, а также все количественные числительные. В формализованных языках, составной частью которых является исчисление предикатов, для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным кванторов двух видов: квантора общности и квантора существования.

Предел на языке кванторов

Квантор общности позволяет из данной высказывательной формы с единственной свободной переменной x получить высказывание с помощью связки “Для всех x …”. Результат применения квантора общности к высказывательной форме A(x) обозначают Предел на языке кванторовx A(x). Высказывание Предел на языке кванторовx A(x) будет истинным тогда и только тогда, когда при подстановке в A(x) вместо свободной переменной x любого объекта из области возможных значений всегда получается истинное высказывание. Высказывание Предел на языке кванторовx A(x) может читаться следующим образом: “Для любого x имеет место A(x)”, “A(x) при произвольном x”, “Для всех x верно A(x)”, “Каждый x обладает свойством A(x)” и т.п.

Квантор существования позволяет из данной высказывательной формы с единственной свободной переменной x получить высказывание с помощью связки “Существует такой x, что …”. Результат применения квантора общности к высказывательной форме A(x) обозначают Предел на языке кванторовx A(x). Высказывание
Предел на языке кванторовx A(x) истинно тогда и только тогда, когда в области возможных значений переменной x найдется такой объект, что при подстановке его имени вместо вхождения свободной переменной x в A(x) получается истинной высказывание. Высказывание Предел на языке кванторовx A(x) может читаться следующим образом: “Для некоторого x имеет место A(x)”, “Для подходящего x верно A(x)”, “Существует x, для которого A(x)”, “Хотя бы для одного x верно A(x)” и т.п.

Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка так называемые “количественные” (“кванторные”) слова, — определяют область применимости данного высказывания (или высказывательной формы).

При построении отрицания к высказыванию, содержащему квантор, действует следующее правило: частица “не” добавляется к сказуемому, квантор общности заменяется на квантор единственности и наоборот. Рассмотрим пример. Отрицанием высказывания “Все юноши 11-х классов — отличники” является высказывание “Неверно, что все юноши 11-х классов — отличники” или “Некоторые юноши 11-х классов — не отличники”.

В информатике кванторы применяются в логических языках программирования (см. “Языки программирования”) и языках запросов к базам данных.

Методические рекомендации

Умение строить сложные высказывания требуется при работе с базами данных, при конструировании запроса поиска в Интернете, при построении алгоритмов и написании программ на любом алгоритмическом языке. Более того, это умение можно отнести к общешкольным умениям, т.к. оно связано с построением сложных умозаключений (рассуждений, получений выводов). В основе этого умения лежат знание основных логических операций и умение определять истинность сложных высказываний.

С логическими операциями дизъюнкция, конъюнкция и отрицание школьники знакомятся в основной школе. Там же вводится и понятие таблицы истинности. Скорее всего знакомство с данными понятиями возникает в языках программирования, но использовать их можно и в электронных таблицах — там логические операции реализованы через соответствующие функции OR, AND, NOT.

Более сложные логические операции могут быть рассмотрены в старшей школе. Задачи, использующие импликацию, встречаются в каждом из опубликованных вариантов ЕГЭ по информатике. Например: для какого числа X истинно высказывание ((X > 3) Предел на языке кванторов(X (X

6 От латинских слов idem — тот же самый и potens — сильный; дословно — равносильный.

7 Это определение легко распространяется на случай n высказываний (n > 2, n — натуральное число).

8 Это определение, как и предыдущее, распространяется на случай n высказываний (n > 2, n — натуральное число).

9 Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. М.: Физматлит, 2002.

Источник

Видео

Предел ФУНКЦИИ по КОШИ (определение). Язык "эпсилон - дельта"

Предел ФУНКЦИИ по КОШИ (определение). Язык "эпсилон - дельта"

Введение в логику, урок 4: Предикаты и кванторы

Введение в логику, урок 4: Предикаты и кванторы

#115. Учимся читать: математическая символика

#115. Учимся читать: математическая символика

Как понять определение предела функции

Как понять определение предела функции

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1

✓ Предел функции. Определение предела функции "по Коши" и "по Гейне" | матан #014 | Борис Трушин

✓ Предел функции. Определение предела функции "по Коши" и "по Гейне" | матан #014 | Борис Трушин

Подпоследовательности. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.

Подпоследовательности. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.

Кванторы Определение и виды

Кванторы  Определение и виды

3. Пример 1 на доказательство предела числовой последовательности

3. Пример 1 на доказательство предела числовой последовательности

Бутузов В. Ф. - Математический анализ - Предел функции

Бутузов В. Ф. - Математический анализ - Предел функции
Поделиться или сохранить к себе:
Добавить комментарий

Нажимая на кнопку "Отправить комментарий", я даю согласие на обработку персональных данных, принимаю Политику конфиденциальности и условия Пользовательского соглашения.