Язык эпсилон дельта таблица + видео обзор

Ответы к ГОСу / 5

5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке «эпсилон-дельта» и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие по некоторому закону вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1, x2,…, xn. = <xn> называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значеня.

Число A называется пределом последовательности при Язык эпсилон дельта таблица

Язык эпсилон дельта таблица Язык эпсилон дельта таблицаесли  >0  такой номер N0>0:  n > N0: Язык эпсилон дельта таблица

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный Язык эпсилон дельта таблица, то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A =  или lim не ) последовательность называется расходящейся.

Точка x0 называется предельной точкой множества M, если в  окрестности x0 содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности Язык эпсилон дельта таблица, а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности Язык эпсилон дельта таблица.

Язык эпсилон дельта таблица– неконечный, Язык эпсилон дельта таблица– неконечный.

Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число).

Последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для Язык эпсилон дельта таблица

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если Язык эпсилон дельта таблица, то последовательность <xn> называется бесконечно малой.

Если Язык эпсилон дельта таблица– бесконечно большой.

Связь неограниченная Язык эпсилон дельта таблицабесконечно большая: бесконечно большая  неограниченная

бесконечно большая  неограниченная. Обратное не верно:

Язык эпсилон дельта таблица

не бесконечно большая

Функцией y = f(x) называется закон, по которому каждому значению xD(f)R ставится в соответствие единственное действительное число yR.

При этом множество значений аргумента D(f) называется областью определения функции, а множество значений <y | y = f(x), xD(f)> называется множеством значений функции.

Функция может быть задана аналитически (то есть формулой), таблично или графически.

Язык эпсилон дельта таблица

Если функция задана таблично, то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию, заменяя функцию линейной, квадратичной на участке между двумя значениями аргумента.

Пусть точка x0 является предельной точкой области определения функции, тогда

Язык эпсилон дельта таблица для  > 0  > 0:  xD(f)  O(x0) \ <x0>: f(x)  O(A)

Язык эпсилон дельта таблица

Язык эпсилон дельта таблица

Язык эпсилон дельта таблица для  > 0  > 0:  x: Язык эпсилон дельта таблицаЯзык эпсилон дельта таблица

Язык эпсилон дельта таблица для  > 0  > 0:  x: Язык эпсилон дельта таблицаЯзык эпсилон дельта таблица

Язык эпсилон дельта таблица Язык эпсилон дельта таблицаЯзык эпсилон дельта таблица

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

Язык эпсилон дельта таблица

Язык эпсилон дельта таблица.

На языке пределов: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она:

1) определена в этой точке;

2) Язык эпсилон дельта таблица

На языке ε и δ: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

1) Язык эпсилон дельта таблица

1. Если x0 является предельной точкой D(f)

fЯзык эпсилон дельта таблица(x0+) = A 2 / |x|)

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на множестве X.

Сумма Язык эпсилон дельта таблица, произведение Язык эпсилон дельта таблица, частноеЯзык эпсилон дельта таблица, суперпозиция Язык эпсилон дельта таблицаесть функция непрерывная.

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

Исследовать на непрерывность, точки разрыва

Язык эпсилон дельта таблица

Язык эпсилон дельта таблица

Функция элементарна. В своей области определения непрерывна

0 – предельная точка для ОДЗ. Но функция не определена в 0 Язык эпсилон дельта таблицаэто точка разрыва.

Язык эпсилон дельта таблица– разрыв II рода.

Язык эпсилон дельта таблица– неэлементарная функция

Определение непрерывности функции по Гейне

Функция непрерывна в точке x0, если:

1. она определена в точке x0, то есть Язык эпсилон дельта таблица;

2. для  Язык эпсилон дельта таблицапоследовательность Язык эпсилон дельта таблица.

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Источник

Язык эпсилон дельта таблица

Но я вот еще о чем подумал: к списку примеров в той записи стоит добавить определение предела через эпсилон-дельта. Сейчас, перечитав ее, вижу, что я упомянул его в конце, но только в списке того, что обычно проходят математики в первый год учебы, до теории групп. Этот пример заслуживает отдельного рассмотрения. Всякий, кто преподавал анализ в университете, особенно не студентам-математикам, студентам с других факультетов, знает, как тяжело студентам понять формальное определение предела через эпсилон-дельта, и непосредственно связанные с ним понятия (непрерывность функции, определение производной итд.). Я подумал вдруг, что можно представить это определение в виде некоторой совершенно необходимой ступени на пути к пониманию математики, подобно тому, как Джоэль Спольский предлагает считать понимание указателей и рекурсии (см. ту запись) необходимым шагом на пути к настоящему пониманию программирования. На эту тему есть две интересные заметки Кита Девлина: Letter to a calculus student и Will the real continuous function please stand up? Обе советую, но не буду пытаться их пересказывать, замечу только, что в обоих заметках Девлин рассуждает о том, почему восприятие идей предела и непрерывности оказывается сложным для студентов. В частности, обсуждая понятие предела:

The subtlety that appears to have eluded Bishop Berkeley is that, although we initially think of h as denoting smaller and smaller numbers, the «lim» term in formula (*) asks us to take a leap (and it’s a massive one) to imagine not just calculating quotients infinitely many times, but regarding that entire process as a single entity. It’s actually a breathtaking leap.

А теперь сравним это с тем, что Джоэль Спольский пишет об указателях и рекурсии:

Указатели и рекурсия требуют от человека определённых способностей: рассуждать, абстрактно мыслить, и, что особенно важно, видеть проблему на нескольких уровнях абстракции одновременно.

Не правда ли, похоже? На нескольких уровнях абстракции одновременно. Не в этом ли заключается секрет способности к абстрактному мышлению? Умение держать в уме несколько разных абстрактных понятий, нетривиальным образом между собой связанных (как в случае эпсилон-дельта: для каждого эпсилон существует дельта итд.); умение переходить с одного уровня абстракции на другой, не теряя из виду сами абстрактные понятие и связи между ними.

Пока все; может, еще через неделю еще что-то придумается.

Источник

Язык эпсилон дельта таблица

Французский писатель Альфонс Алле (1854–1905) говорил:

«Бесконечность велика, особенно ближе к концу»,

тем самым не без доли юмора показав, что мы не можем воспринимать бесконечность как таковую и всегда представляем её в сравнении с чем-либо. Иными словами, человек может рассматривать бесконечность только в привязке к чему-то конечному, так как сам имеет конечную природу. Когда мы смотрим вдаль, мы теряемся и погружаемся в философские размышления, домыслы и гипотезы и, в лучшем случае, формируем к бесконечности какое-то отношение, не всегда рационально обоснованное. Поэтому неудивительно, что бесконечность была, есть и будет темой философских, научных и религиозных споров, ведь философия, наука и религия — три огромные области человеческой мысли, границы между которыми не всегда чётко определены.

Когда большинство людей думают о бесконечности, они испытывают головокружение, ведь она неизменно ускользает от нас, как бы мы ни старались. И это в самом деле так. Возможно, бесконечность именно потому вызывает такой интерес, что представляет собой неисчерпаемый источник вдохновения. История её изучения в математике настолько любопытна, что можно говорить о «математике бесконечности» и смело утверждать, что в математике бесконечность перестала быть чем-то неясным и превратилась в полноценный математический объект, подобный числам и геометрическим фигурам.

Но любой математический объект должен быть чётко определён. В этом смысле математик подобен охотнику: он исследует незнакомую местность, выслеживает добычу, выжидает, берёт её на мушку и, тщательно прицелившись, стреляет.

Это же произошло и с бесконечностью, причём она была непростой добычей — потребовалось больше трёх тысяч лет, чтобы поймать её. В погоне за бесконечностью учёным пришлось петлять между догмами и парадоксами, вступать на территорию греческой философии, разбираться в хитросплетениях религиозных измышлений и секретов тайных обществ. Однако бесконечность можно было встретить и в геометрии, и в лабиринте чисел, более привычных охотникам-математикам.

Мы проследим, как размышляли о бесконечности величайшие мудрецы всех времён и народов, будь то философы, богословы, физики или математики. В погоне за бесконечностью некоторые из них утратили рассудок, другие поплатились жизнью, взойдя на костёр по приговору инквизиции, и всё это — из-за идеи. Однако мы знаем, что одна идея способна радикально изменить наше восприятие мира и пошатнуть основы верований.

Эта тема интересует не только математиков, но и философов, при этом и математическая, и философская точка зрения на бесконечность должны быть согласованы между собой. Ведь, как сказал французский математик Жан-Шарль де Борда (1733–1799),

«без математики нельзя глубоко проникнуть в суть философии, без философии нельзя глубоко проникнуть в суть математики, а без них обеих нельзя понять суть чего бы то ни было».

Глава 1. Что такое бесконечность

Понятие бесконечности — это неотъемлемая часть человеческой мысли. Весьма вероятно, что мы имеем некое врождённое неясное представление о бесконечности, которое постоянно сопоставляем с противоположным ему чётким представлением о конечности, являющейся частью нашей природы. В философии и богословии размышления о бесконечности могут быть необязательными и ситуативными, но в математике её исследование всегда было и остаётся насущной необходимостью.

Бесконечность в повседневной жизни

Известен анекдот о некоем преподавателе математики, которому нужно было в первый раз объяснить студентам, что такое бесконечность. Он взял коробку с мелками, достал один и начал рисовать прямую на доске. Дойдя до края доски, он продолжил вести линию по стене, затем по полу и, не останавливаясь, вышел из аудитории и исчез из вида в конце коридора, продолжая вести линию. Удивлённые студенты ждали, что будет дальше. Спустя некоторое время прозвенел звонок к концу лекции.

Преподаватель исчез. Последним, кто его видел, был вахтёр. Преподаватель шёл по улице и, не отрывая мела от асфальта, по-прежнему чертил линию. Прошло три дня, и руководство университета решило найти преподавателю замену. Через несколько месяцев, к удивлению студентов, преподаватель вернулся. Он оброс бородой, за спиной у него был рюкзак, в руке он держал кусочек мела. Он вошёл в класс, по-прежнему чертя на полу линию, дошёл до доски и, наконец, остановился.

Усталый преподаватель повернулся к студентам и сказал: «Эта линия невероятно велика, но она — ничто в сравнении с бесконечностью».

Неизвестно, какое решение приняло руководство университета — возможно, преподавателя поместили в лечебницу. Также неизвестно, поняли ли студенты, что такое бесконечность. Однако преподавателю удалось выразить одно: бесконечность неизбежно связана с чем-то исключительным и даже шокирующим.

Я впервые осознал, что такое бесконечность, ребёнком, когда оказался между двумя параллельными зеркалами в кабине лифта. «Что это?» — спросил я. Отец взял меня за руку и ответил: «Это бесконечность». С тех пор бесконечность для меня подобна далёкой, удивительной и пугающей стране, по которой лучше всего путешествовать, если кто-то держит тебя за руку.

Для всех нас бесконечность находится где-то далеко, в совершенно недостижимом месте, и в лучшем случае вызывает страх, в худшем — безмерный ужас. Однако альтернатива бесконечности также не слишком обнадёживает. Если Вселенная конечна, что находится за её пределами? Ответ: Ничто, с большой буквы. И это «Ничто» ещё невероятнее, чем бесконечность.

Язык эпсилон дельта таблица

Иллюстрация Гюстава Доре к «Аду» — первой части «Божественной комедии» Данте Алигьери. Дантовский ад был синонимом бесконечных страданий и вечных мук.

Определение из словаря

По определению из словаря, «бесконечность» обозначает нечто чрезмерно великое, необычайно большое или продолжительное. Однако мы часто используем это слово, говоря «бесконечное пространство», «бесконечно много раз», «бесконечное время», «бесконечное терпение». Все мы понимаем смысл этих выражений, но если мы попробуем разобраться, что же имеется в виду на самом деле, то увидим, что наши способности размышлять о бесконечности ограничены, и мы быстро переходим к банальностям и клише, которые никак не помогают нам приблизиться к пониманию сути бесконечности. Это понятие имеет философскую природу: размышлять о бесконечности означает философствовать, а для таких размышлений нужно иметь какую-то отправную точку. Проще всего будет обратиться к словарю.

В толковом словаре русского языка слово «бесконечность» имеет четыре значения.

1. Отсутствие конца, предела наличию каких-либо однородных объектов в пространстве или последнего момента осуществления каких-либо процессов.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Определение предела и число эпсилон

Язык эпсилон дельта таблица

1. Предел последовательности.
Цитирую:

2. Геометрический смысл того же предела последовательности:

Заранее благодарен за ответ.

Заслуженный участник
Язык эпсилон дельта таблица

Заслуженный участник
Язык эпсилон дельта таблица

Последний раз редактировалось ИСН 16.02.2013, 20:14, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник
Язык эпсилон дельта таблица

Заслуженный участник
Язык эпсилон дельта таблица

Заслуженный участник
Язык эпсилон дельта таблица

Язык эпсилон дельта таблица

Последний раз редактировалось henehen 16.02.2013, 22:34, всего редактировалось 3 раз(а).

PS. Причём, что самое интересное, такая привычка «объяснять» через левые переменные навроде эпсилонов и дельт сохраняется практически во всех учебниках и методичках, что весьма здорово способствует механическому использованию математики (не вникая ни во что) и убивает напрочь желание учиться.

И вообще, если кто-то мне объяснит человеческим языком на пальцах всю эту эпсилон-дельту технику, то я буду нечеловечески ему благодарен =)

Заслуженный участник
Язык эпсилон дельта таблица

Язык эпсилон дельта таблица

Язык эпсилон дельта таблица

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Видео

Предел ФУНКЦИИ по КОШИ (определение). Язык "эпсилон - дельта"

Предел ФУНКЦИИ по КОШИ (определение). Язык "эпсилон - дельта"

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2

[Calculus | глава 7] Пределы, правило Лопиталя и эпсилон-дельта определение

[Calculus | глава 7] Пределы, правило Лопиталя и эпсилон-дельта определение

20. Предел функции в точке, определение по Гейне и по Коши.

20. Предел функции в точке, определение по Гейне и по Коши.

История языка эпсилон-дельта от Коши до Вейерштрасса // Галина Синкевич

История языка эпсилон-дельта от Коши до Вейерштрасса // Галина Синкевич

#1 Геом. интерпретация пределов / Эпсилон-Дельта

#1 Геом. интерпретация пределов / Эпсилон-Дельта

Программирование ПЛК. Как понять язык LADDER за 5 минут!

Программирование ПЛК. Как понять язык LADDER за 5 минут!

Определение предела по Коши

Определение предела по Коши
Поделиться или сохранить к себе:
Добавить комментарий

Нажимая на кнопку "Отправить комментарий", я даю согласие на обработку персональных данных, принимаю Политику конфиденциальности и условия Пользовательского соглашения.