Язык логики высказываний это + видео обзор

Содержание
  1. Язык логики высказываний
  2. Язык логики высказываний (алфавит, понятие формулы). Табличное определение логических связок
  3. Язык логики высказываний это
  4. Логика высказываний
  5. Содержание
  6. Формализация логики высказываний
  7. Язык формальной логики высказываний
  8. Алфавит языка логики высказываний
  9. Пропозициональные переменные
  10. Пропозициональные формулы
  11. Соглашения о скобках
  12. Аксиомы и правила вывода формальной системы логики высказываний
  13. Интерпретация языка логики высказываний
  14. Тождественно истинные формулы (тавтологии)
  15. См. также
  16. Примечания
  17. Литература
  18. Логика высказываний: теория и применение. Примеры решений задач
  19. Логика высказываний: определение и применение
  20. Логические операции над высказываниями
  21. Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения
  22. Формулы логики высказываний
  23. Тавтологии и противоречия
  24. Посылки и выводы. Валидный и не валидный аргумент
  25. Применение логики высказываний в информатике и программировании
  26. Видео

Язык логики высказываний

Язык логики высказываний это Язык логики высказываний это Язык логики высказываний это Язык логики высказываний это

Язык логики высказываний это

Язык логики высказываний это

Логика высказываний (пропозициональная логика) – это раздел логики, изучающий способы построения и логическую структуру высказываний, отношения между ними и выводы, полученные с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания и т.д. Часто в логике это обозначается КЛВ – классическая логика высказываний. Алфавит логики высказываний включает в себя четыре вида символов:

2) пропозициональные связкиØ, &, Ú, Ú, É, º

3) скобки ( … )

4)запятая ,

Пропозициональные переменные замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «идет снег» можно обозначить символом p, высказывание «метет метель» – символом q, и т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. К ним относятся:

Øотрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)

& – конъюнкция («и», «а», «но», «хотя», и т.п.)

Úдизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)

Úстрогая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и т.п.)

Éимпликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)

ºэквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)

Формулами в языке КЛВ называютзначимые выражения. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.

Определение формулы. (1) Пропозициональные переменные являются формулами. (2) Если Аи В – формулы, то ØА, А&В, АÚВ, АÚВ, АÉВ, АºВ – тоже формулы. (3) Ничто другое не является формулой.

Упражнение 1.Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:

а) p Ú Ø q & r É s & q Ú Ø p º Øs É q Ú r

б) p & q º r & s Ú q Ú Ø p É Øs Ú q & r

Переводить высказывания с обычного языка на естественный не трудно. Пусть, например, р означает «Иван-царевич любит Марью», q – «Марья любит Ивана-царевича», r – «Марья красивая», s – «Иван-царевич храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:

– «Иван-царевич храбрый и любит Марью» s & p

– «Неверно, что Марья некрасивая

или Иван-царевич ее не любит» Ø(Ør Ú Øp)

– «Если Марья красива, а Иван-царевич храбр,

то они любят друг друга» (r&s) É (p&q)

Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:

1) Принцип бивалентности. Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1, ложность – как 0.

2) Принцип композициональности. Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.

Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей истинности:

pqØpp&qpÚqpÚqpÉqpºq

Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Иван-царевич и Марья любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p&q) É Ø(ØpÚØq).

Алгоритм построения таблицы истинности:

2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности пропозициональных переменных[1].

3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и формулы в целом (используя данное выше табличное определение пропозициональных связок).

pqØpØqp&qØpÚØqØ(ØpÚØq)(p&q) É Ø(ØpÚØq)

В данной таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит лишь две переменные – p и q. Первые два столбца задают все возможные комбинации совместной истинности и ложности этих переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний (результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.

Язык логики высказываний это

В зависимости от того, каким является результирующий столбец таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные, тождественно-ложные и логически случайные.

Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула, принимающая значение «1» во всех строках таблицы.

Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула, принимающая значение «0» во всех строках таблицы.

Логически случайной (собственно выполнимой) называется формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «1», а в некоторых – «0».

В приведенном примере формула является тождественно-истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами, данная формула выражает собой логический закон.

Упражнение 2. установите табличным способом, к каким видам относятся следующие формулы:

Источник

Язык логики высказываний (алфавит, понятие формулы). Табличное определение логических связок

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

Логика высказываний — это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Под высказыванием принято понимать языковое предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний.

Табличное задание связок. Правильные пропозициональные схемы

Простое высказывание – высказывание, в котором нельзя выделить часть, являющуюся высказыванием, кроме самого этого целого.

Сложным (составным) называется высказывание, составленное с помощью логических связок.

Особенностью пропозициональных (высказывательных) логических форм является то, что они представляют собой самый “поверхностный” уровень анализа сложных предложений, при котором выявляются лишь “внешние” логические взаимосвязи между простыми предложениями, а также их порядок в составе исходного сложного предложения без анализа внутренней структуры самих простых предложений.

Тем самым в логике высказываний происходит абстрагирование (отвлечение) от содержания простых предложений: каждое простое предложение, в котором фиксируется одно и то же положение дел, заменяется одной и той же пропозициональной переменной, а разные предложения — обозначаются разными переменными; логические взаимосвязи между простыми предложениями фиксируются с помощью логических союзов.

В основе алфавита языка логики высказываний лежит множество формул, выражающие элементарные высказывания.

Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения.

Язык логики высказываний включает: алфавит, определение правильно выстроенных выражений, интерпретацию.

Алфавит логики высказываний состоит из следующих символов.

2) Символы для логических связок:

= — эквивалентность (союз «если и только если. то. »);

3) Технические знаки (,) — скобки.

Последовательность символов в логике высказываний называется формулой.

Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно построенными формулами, или сокращенно ППФ, вводятся следующим определением:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r. — является ППФ.

3. Все другие выражения, не являются ППФ языка логики высказываний.

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значения различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые формулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональных переменных.

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложности при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных.

Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истинности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозициональных переменных.

Основные правильные пропозициональные схемы

Источник

Язык логики высказываний это

8. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

8.1. Основы логики высказываний

Пример: Если посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС», то можно получить автомат за экзамен. Петров присутствовал на всех занятиях по «Представлению знаний в ИС». Следовательно, он получит автомат.

Пример: Если посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС», то можно получить автомат за экзамен. Петров не получил автомат. Следовательно, он пропускал занятия по «Представлению знаний в ИС».

Следует отметить, что модусы Язык логики высказываний этои Язык логики высказываний этоявляются неправильными (см. таблицу истинности для импликации).

Примеры неправильных модусов.

Если посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС», то можно получить автомат за экзамен. Петров получил автомат. Следовательно, он не пропускал занятия по «Представлению знаний в ИС». На самом деле возможна другая причина получения автомата.

Если посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС», то можно получить автомат за экзамен. Петров пропускал занятия по «Представлению знаний в ИС». На самом деле он получил автомат, но за другие заслуги.

Мы будем посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС» или придется сдавать экзамен. Да, мы будем посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС». Следовательно, есть надежда на автомат.

Мы будем посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС» или придется сдавать экзамен. Мы будем пропускать занятия по «Представлению знаний в ИС». Следовательно, придется сдавать экзамен.

Мы будем посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС» или придется сдавать экзамен. Есть надежда на автомат. Следовательно, мы будем дальше посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС».

Данные правила представляют собой гораздо более общий метод вывода, чем традиционная логика Аристотеля. Они явились первым шагом к созданию логики высказываний. Дальнейшие исследования в области логики связаны с именами Де Моргана, Буля, Фреже, Пеано и других.

8.2. Синтаксис и семантика логики высказываний

В логике высказываний используется следующий синтаксис (символы):

— логические константы – ИСТИНА (И, TRUE, T) и ЛОЖЬ (Л, FALSE, F);

— атомарные высказывания (атомарные формулы, атомарные выражения, атомарные предложения) – обозначаются через прописные буквы латинского алфавита A, B, C и т.д. Например, «Земля вращается вокруг Солнца» (атомарное высказывание, выраженное на естественном языке) можно выразить через А. Атомарные высказывания относятся к константам и могут принимать только значения либо истина либо ложь;

— логические связки (операции, соединители):

— ∨ – логическое ИЛИ (дизъюнкция, логическое сложение);

AB¬AA ∧ BA ∨ BA → B
¬A ∨ B
A ↔ B
(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
ИИЛИИИИ
ИЛЛЛИЛЛ
ЛИИЛИИЛ
ЛЛИЛЛИИ

Приоритет операций при исчислении формул показан ниже

Язык логики высказываний это

В скобках показаны операции с одинаковым приоритетом. Если в формуле используются операции с одинаковым приоритетом, то порядок исчисления слева-направо. Изменение порядка исчисления можно добиться за счет использования круглых скобок «( )».

— пропозициональные (логические) переменные – обозначаются через строчные буквы латинского алфавита p, q, r, x, y, z и т.д. Переменные соответствуют атомарным высказываниям или набору высказываний, связанных логическими операциями. Например, пусть дана формула A ∧ (B ∨ C). Тогда ее можно представить через переменные следующим образом:

— p – p соответствует A ∧ (B ∨ C);

Процесс подстановки в формулу констант или атомарных высказываний вместо ее переменных называется конкретизацией. Переменные после конкретизации могут принимать значения истина или ложь. Таблица истинности для логических операции с переменными соответствует таблице операций с константами.

Семантика логики высказываний (основные определения).

Правильно построенная формула (формула, ППФ) – одно или несколько высказываний (переменных), соединенных логическими операциями. Результат вычисления формулы истина или ложь. Примеры неправильно построенных формул: A ∨ B →, ¬A ¬∨ C, ↔ A ∧ B и т.д.

Противоречие (невыполнимая формула) – ППФ, значением которой всегда является ложь. Например, A ∧ ¬A.

Выполнимая формула – ППФ, значением которой может быть истина или ложь.

Тавтология – ППФ, значением которой всегда является истинна. Например, A ∨ ¬A. Некоторые тавтологии называют общезначимыми формулами (законами логики высказываний), т.к. они имеют фундаментальное значение и используются при исчислении высказываний. Перед общезначимыми формулы часто ставят знак ╞. Наиболее известными являются следующие законы:

— A ∧ (B ∨ С) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ С);

— A ∨ (B ∧ С) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ С);

— закон двойного отрицания:

8.3. Исчисление высказываний

Логическим исчислением (исчислением) называют совокупность, которая включает в себя [29]:

— алфавит (совокупность используемых символов);

— синтаксические правила построения формул;

— аксиомы – общезначимые формулы;

— правила вывода по аксиомам производных формул или теорем.

Для того чтобы использовать методы логики высказываний применительно к конкретной предметной области, сначала необходимо проанализировать структуру этой области. При выполнении анализа отыскиваются атомарные высказывания, действующие в ней, и логические взаимосвязи, существующие между ними. После отбора соответствующего множества таких атомарных высказываний следует подобрать обозначения (например, символы А, В, С и т.д.) для представления каждого из них. После этого становится возможным описание логических взаимосвязей между ними, что достигается посредством использования ППФ, сконструированных из соответствующих обозначений. Множество ППФ, сгенерированное таким путем, называется теорией заданной области знаний, а каждая отдельная ППФ именуется аксиомой.

Основная цель построения теории заключается в описании нужных знаний столь экономичным способом, насколько это возможно. Если теория адекватно описывает заданную область знаний, то все факты (заключения) из области знаний, являющиеся истинными, будут следствиями аксиом этой теории, а ни один факт, являющийся ложным, не будет следствием данных аксиом. Если все истинные факты из заданной области знаний являются следствиями теории, то такая теория называется полной. Если из аксиом теории нельзя вывести противоречия, то теория называется последовательной.

Выводом в теории Т называется всякая последовательность формул ППФ1, ППФ2, …, ППФi такая, что для любого i формула ППФi есть либо аксиома теории T, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул. Факт выводимости одной формулы из других показывается с помощью знака ├. Например, ППФ1, …, ППФk ├ ППФm.

Классическое исчисление высказываний использует два правила вывода.

Правило 1. Modus Ponens – A, A → B ├ В. Из истинности условия импликации и истинности самой импликации следует истинность следствия импликации.

Правило 2. Правило подстановки – ППФ(р) ├ ППФ(Р). Из формулы ППФ(р) выводима формула ППФ(Р), получающаяся подстановкой формулы P вместо каждого вхождения переменной р.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение понятию «высказывание».

Источник

Логика высказываний

Содержание

Формализация логики высказываний

Язык формальной логики высказываний

Алфавит языка логики высказываний

Исходные символы, или алфавит языка логики высказываний, разделены на следующие три категории [1] [5] :

Пропозициональные переменные

Пропозициональные формулы

)>Язык логики высказываний это— тоже формулы.

Других формул в языке логики высказываний нет.

Соглашения о скобках

Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, математики приняли соглашения о скобках, по которым некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются по следующим правилам.

Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.

Аксиомы и правила вывода формальной системы логики высказываний

Одним из возможных вариантов (гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:

A 2 : ( A → ( B → C ) ) → ( ( A → B ) → ( A → C ) ) <\displaystyle A_<2>:(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))> Язык логики высказываний это;

A 8 : ( A → C ) → ( ( B → C ) → ( ( A ∨ B ) → C ) ) <\displaystyle A_<8>:(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))> Язык логики высказываний это;

A 10 : ( A → B ) → ( ( A → ¬ B ) → ¬ A ) <\displaystyle A_<10>:(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\rightarrow \neg B)\rightarrow \neg A)> Язык логики высказываний это;

вместе с единственным правилом:

Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.

Интерпретация языка логики высказываний

Тождественно истинные формулы (тавтологии)

См. также

Примечания

Литература

Что такое wiki2.info Вики является главным информационным ресурсом в интернете. Она открыта для любого пользователя. Вики это библиотека, которая является общественной и многоязычной.

Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License.

Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. wiki2.info является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).

Источник

Логика высказываний: теория и применение. Примеры решений задач

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Логика высказываний: определение и применение

Высказываниями принято считать такие предложения (написанные на «словесном» либо математическом языке), о которых можно сказать одно из двух: либо они являются истинными, либо ложными.

С математическими высказываний проще всего: они всегда имеют либо значение «истина», либо значение «ложь». Для высказываний, сделанных на «словесном» языке, понятия «истинности» и «ложности» несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как «Иди домой» и «Идёт ли дождь?», не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается. Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями «истина» и «ложь».

Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.

Язык логики высказываний это

Логические операции над высказываниями

Итак, высказывания можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: «истина» и «ложь».

Таблица истинности для конъюнкции:

ABAB
ИИИ
ИЛЛ
ЛИЛ
ЛЛЛ

Таблица истинности для дизъюнкции:

ABAB
ИИИ
ИЛИ
ЛИИ
ЛЛЛ

Таблица истинности для следования (импликации):

ABAB
ИИИ
ИЛЛ
ЛИИ
ЛЛИ

4. Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается

A (можно встретить также употребление не символа

, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A).

A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности для отрицания:

Таблица истинности для эквивалентности:

ABABBAAB
ИИИИИ
ИЛЛИЛ
ЛИИЛЛ
ЛЛИИИ

В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).

Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.

Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).

Для логических операций верны законы алгебры логики, которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример 1. Вычислите логические значения следующих высказываний:

3) («Сосна» = «Дуб») ИЛИ («Вишня» = «Клён») ;

6) («Глаза даны, чтобы видеть») И («Под третьим этажом находится второй этаж») ;

Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) «Пользователь не зарегистрирован»;

2) «Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе»;

3) «Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными».

Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) («В минуте 70 секунд») ИЛИ («Работающие часы показывают время») ;

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

4) Не((300 > 100) ИЛИ («Жажду можно утолить водой»)) ;

Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:

1) «Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия»;

Пример 5. Определите логическое значение выражения

Формулы логики высказываний

Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний.

В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.

Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы

Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения «истина» и «ложь». Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами.

Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций

Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:

1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;

3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).

1) Язык логики высказываний это;

2) Язык логики высказываний это;

3) Язык логики высказываний это;

4) Язык логики высказываний это;

5) Язык логики высказываний это;

6) Язык логики высказываний это.

1) «нет действительных чисел, которые являются рациональными»;

2) «если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными»;

5) «все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными»;

6) «не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными».

pqrЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоf
ИИИИИИИИ
ИИЛИИИЛИ
ИЛИИЛЛЛЛ
ИЛЛИЛЛИИ
ЛИИЛИЛИИ
ЛИЛЛИЛИЛ
ЛЛИИИИИИ
ЛЛЛИИИЛИ

Заметим, что никакой атом не имеет вида

Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что

1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;

2) упорядочим знаки логических операций «по старшинству»:

В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак

— самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая «порядок старшинства». А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака

(при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.

Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B

Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:

Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (BC) и

(AB) дальнейшее исключение скобок невозможно.

Тавтологии и противоречия

Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно «истина» и «ложь») всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение «истина» при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией.

Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение «ложь» при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием.

Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.

Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний Язык логики высказываний этои определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

Язык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний это
ИИИИИ
ИЛЛЛИ
ЛИЛИИ
ЛЛЛЛИ

В значениях импликации не встречаем строку, в которой из «истины» следует «ложь». Все значения исходного высказывания равны «истине». Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.

Пример 10. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний Язык логики высказываний этои определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

Язык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний это
ИИИИИИ
ИИЛИЛЛ
ИЛИЛИИ
ИЛЛЛЛИ
ЛИИЛИИ
ЛИЛЛЛИ
ЛЛИЛИИ
ЛЛЛЛЛИ

Как видно ниже, таблица истинности для такой замещающей логической операции идентична таблице истинности для импликации.

Язык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний это
ИИИ
ИЛЛ
ЛИИ
ЛЛИ

Пример 11. Перепишите формулу логики высказываний Язык логики высказываний этобез использования импликации и эквиваленции, пользуясь тождеством Язык логики высказываний этои законами де Моргана:

Язык логики высказываний это;

Язык логики высказываний это.

Заменяем импликацию между двумя парами скобок, отрицая самый левый знак отрицания:

Язык логики высказываний это.

Убираем эквиваленцию между p и q и между q и не r :

Язык логики высказываний это.

Используя закон де Моргана, немного упрощаем и окончательно получаем:

Язык логики высказываний это.

Посылки и выводы. Валидный и не валидный аргумент

Пример валидного аргумента:

То есть, из посылок логически следует вывод.

Пример не валидного аргумента:

То есть, из посылок логически не следует вывод.

Пример 12. Проверьте валидность аргумента, если

Решение. Составляем таблицу истинности:

Язык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний этоЯзык логики высказываний это
ИИЛИИИ
ИЛЛЛЛИ
ЛИИИИЛ
ЛЛИИИИ

Применение логики высказываний в информатике и программировании

Так, может быть объявлена логическая переменная с именем «ПользовательЗарегистрирован» (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение «истина» при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение («истина» или «ложь») имеет переменная «ПользовательЗарегистрирован». В других случах переменной, например, с именем «ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней», может быть присвоено значение «Истина» до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на «ложь» и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.

Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.

Источник

Видео

16 - Мат. логика. Язык логики высказываний

16 - Мат. логика. Язык логики высказываний

Введение в логику, урок 1: Базовые понятия

Введение в логику, урок 1: Базовые понятия

Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. На примерах из жизни. Логика.

Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. На примерах из жизни. Логика.

Дмитрий Гусев: "Что такое логика, и какую роль она играет в нашей жизни? "

Дмитрий Гусев: "Что такое логика, и какую роль она играет в нашей жизни? "

Язык логики и семантические категории

Язык логики и семантические категории

3.1.Пропозициональная логика.Высказывания и высказывательные формы

3.1.Пропозициональная логика.Высказывания и высказывательные формы

Ноговицын О.М. "Язык и логика-1" (философия), семестр 2013/14 - 8

Ноговицын О.М. "Язык и логика-1" (философия), семестр 2013/14 - 8

3.3.Язык логики высказываний.Математическая логика и теория алгоритмов.

3.3.Язык логики высказываний.Математическая логика и теория алгоритмов.

ДМ. Логика высказываний и булева алгебра. 20 октября 2020 года.

ДМ. Логика высказываний и булева алгебра. 20 октября 2020 года.

Высказывание. Элементы математической логики.

Высказывание. Элементы математической логики.
Поделиться или сохранить к себе:
Добавить комментарий

Нажимая на кнопку "Отправить комментарий", я даю согласие на обработку персональных данных, принимаю Политику конфиденциальности и условия Пользовательского соглашения.