Язык си бинарный поиск + видео обзор

Двоичный (бинарный) поиск.

Когда поиск некоторого элемента необходимо осуществить в упорядоченной по возрастанию или убыванию последовательности, тогда применѝм алгоритм двоичного (бинарного) поиска. Метод использует стратегию «разделяй и властвуй», а именно: заданная последовательность делится на две равные части и поиск осуществляется в одной из этих частей, которая потом также делится надвое, и так до тех пор, пока обнаружится наличие искомого элемента или его отсутствие.

Использовать эту операцию, уменьшая каждый раз зону поиска вдвое, позволительно лишь исходя из того факта, что элементы последовательности заранее упорядочены. Найдя средний элемент (сделать это, зная число элементов массива, не составит труда), и сравнив его значение с искомым, можно уверено сказать, где относительно среднего элемента находится искомый элемент.

Далее, будем полагать, что элементы массива располагаются в порядке возрастания, поскольку нет существенной разницы, как именно они упорядочены: по возрастанию или убыванию значение. Также обозначим границы зоны поиска через left и right – крайний левый и крайний правый элементы соответственно.

Ход работы алгоритма, разделенный на этапы, выглядит следующим образом:

В таблице ниже представлен конкретный целочисленный массив, и пошаговое выполнение алгоритма бинарного поиска применительно к его элементам. Для экономии места в таблице left, right и mid заменены на a, b и c.

Имеется последовательность целых чисел, расположенных в порядке возрастания, а также ключ – число 16. Изначально граничными элементами являются элементы с номерами 1 и 9, и значениями 1 и 81. Вычисляется номер среднего элемента, для чего, как правило, используется формула (right+left)/2, либо left+(right-left)/2 (далее, в программах будет использована вторая формула, как наиболее устойчивая к переполнениям). После сравнения оказывается, что искомый элемент меньше среднего, и поэтому последующий поиск осуществляется в левой части последовательности. Алгоритм продолжает выполняться подобным образом, до нахождения на 4 шаге искомого элемента.

Стоит отметить, что здесь потребуется гораздо меньше времени, чем, если бы мы воспользовались линейным поиском, но в отличие от линейного поиска двоичный работает только с массивами, элементы которых упорядочены, что, несомненно, придает ему отрицательной специфичности.

Источник

Реализация бинарного дерева поиска в СИ

Бинарное дерево поиска — это набор узлов, который удовлетворяет следующим условиям:

В предыдущей статье мы рассматривали односвязные списки, которые имеют ряд достоинств, например, скорость работы. Однако бинарные деревья поиска не уступают спискам в данном показателе, напротив, найти элемент в дереве намного проще и быстрее, чем в списке. В бинарном дереве присутствует классификация элементов: одни элементы размещены в левом поддереве, а другие в правом.

Существует несколько разновидностей деревьев поиска, например, АВЛ-деревья, красно-черные и другие. В данной статье мы рассмотрим обычные бинарные деревья поиска, однако, забегая вперед стоит сказать, что разновидности обычного бинарного дерева имеют одно или несколько дополнительных параметров, которые облегчают и ускоряют работу с деревом (другие типы деревьев мы рассмотрим чуть позже в следующих статьях).

Начало начал

Бинарное дерево поиска состоит из узлов. Каждый узел содержит в себе указатели на левое и правое поддерево, указатель на родителя и ключ. Узлы представляются в качестве структуры:

Инициализируем дерево

Мы инициализируем дерево отдельной функцией для того, чтобы облегчить процесс добавления узлов в дерево. Другими словами, мы создаем корень бинарного дерева поиска.

Добавим узел в дерево

Найдем нужный узел в дереве

Поиск в дереве реализовать очень просто. Как и раньше, мы будем руководствоваться следующим правилом: слева расположены элементы с меньшим значением ключа, справа — с большим.

Найдем узел с минимальным и максимальным ключом

Данные функции являются очень полезными, особенно часто используются во время удаления узла из дерева.

Удалим узел из дерева

Итак, пришло время освоить, наверное, самое сложное действие с деревом, а именно, удалить узел. Удаление элемента из дерева реализуется намного сложнее, чем в списках. Это связано с особенностью построения деревьев (см. начало статьи, пункт 3).

Общая функция поиска следующего за удаляемым элемента:

В нашем случае из данного кода нужна только первая часть, так как поиск следующего за удаляемым элемента нужен тогда, когда у удаляемого узла существуют оба поддерева.

Функция удаления узла из дерева:

Вывод элементов дерева

Принято выделять три типа обхода дерева:

В данной статье мы рассмотрели основные функции, которые предназначены для работы с бинарными деревьями поиска. Если у Вас остались вопросы, то просьба писать их в комментариях.

Подписывайтесь на T4S.TECH в Telegram, «ВКонтакте» и в «Яндекс.Дзен», чтобы оставаться в курсе самых интересных новостей из мира технологий и не только.

Samsung ускоряет разработку первой в мире RAM-памяти LPDDR5 для Android-смартфонов

Samsung – это один из ведущих производителей аппаратных компонентов в отрасли, которая является для компании также основным источником дохода. Корейский производитель подтвердил свои намерения увеличить инвестиции

В App Store и Google Play в 2017 году было совершено более 175 млрд. скачиваний приложений

Источник

Задача «Линейный и бинарный поиск»

Постановка задачи

Задан массив A из N элементов одного типа. Это могут быть числа, строки, структуры. Число N может быть достаточно велико (например, сотни миллионов).

Требуется найти расположение заданного элемента в массиве по запросу b, то есть найти такое k, для которого A[k]=b. Массив A может быть неупорядоченным, либо упорядоченным по возрастанию/убыванию значений элементов.

Для неупорядоченного массива единственно возможным является линейный поиск, основанный на последовательном сравнении элементов массива с запросом. Для упорядоченного массива, который может быть получен в результате сортировки исходного массива, возможен как линейный, так и бинарный поиск.

Далее обсуждается критерий эффективности алгоритмов поиска, собственно алгоритмы и их программная реализация, а также результаты поиска с точки зрения критерия эффективности.

Эффективность алгоритма поиска

Поиск при работе с данными (особенно с базами данных) является самой массовой (часто используемой) операцией.

Критерием эффективности алгоритма является количество операций сравнения при циклическом поиске заданного элемента. Замедление поиска заметно только при больших значениях N. Поэтому, если ваш тест содержит 10, 100 или 1000 элементов, то скорее всего поиск займет миллисекунды.

Мы можем теоретически оценить зависимость количество операций сравнения, равно как и время поиска T в зависимости от N, а затем проверить это с секундомером, запустив нашу программу.

Алгоритм линейного поиска

В цикле по всем элементам массива проверяем условие остановки поиска A[k]=b. При выполнении на k-м элементе этого условия осуществляется досрочный выход из цикла. Если местоположение искомого элемента в массиве равновероятно (в начале, в конце или середине), то математическое ожидание T

N/2 (теоретическая оценка).

Алгоритм бинарного поиска

Алгоритм не применим к неупорядоченному массиву (вероятность получения результата крайне мала). Однако на упорядоченном массиве он обеспечивает более быстрое получение результата: T

log₂N (теоретическая верхняя оценка).

500000000 операций, а для бинарного поиска T

30. Отметим, что обязательным условием достижение результата при бинарном поиске является упорядоченность массива.

Идея алгоритма очень проста. Выбирается элемент в середине массива. Если он больше b, то следует искать его во второй половине массива, иначе — первой. То есть исходная последовательность делится пополам, потом выбранная подпоследовательность делится снова пополам и так далее. Этот метод («метод дихотомии») поэтому имеет логарифмическую (по основанию 2) зависимость времени вычислений от числа элементов.

Программная реализация

В классе Program объявим три объекта:
static int [] a = new int[1000]; // массив целых чисел
static int counter; // счетчик числа сравнений
static int n; // число элементов
Переменная counter нам будет полезна при анализе эффективности алгоритмов.

Кроме метода Main() добавим в класс Program пять методов:
static void arr1Gen() // Генератор упорядоченного по возрастанию массива
static void arr2Gen() // Генератор массива случайных чисел
static int linePoisk(int b) // Линейный поиск
static int binPoisk(int b) // Бинарный поиск
static void comparison2() // Сравнение двух видов поиска

Примечание. В генераторах массивов используется объект класса Random для генерации элементов массива, причем в первом случае массив гарантированно упорядочен по возрастанию, во втором случае этого не будет.

Код приложения представлен ниже:

Результат:

Примечания

В методах поиска оператор break; используется для досрочного выхода из цикла. Счетчик counter увеличивается только внутри циклов. В примере выбрано N=40 для наглядности.

Обратите внимание на критерий эффективности (число сравнений) для двух видов поиска в упорядоченном по возрастанию массиве и сбой алгоритма бинарного поиска в неупорядоченном массиве.

Самостоятельные исследования эффективности алгоритмов поиска

Исследуйте с секундомером работу программы при больших N (до 400000000), чуть изменив программу — удалив вывод элементов на консоль.

Источник

Целочисленный двоичный поиск

Целочисленный двоичный поиск (бинарный поиск) (англ. binary search) — алгоритм поиска объекта по заданному признаку в множестве объектов, упорядоченных по тому же самому признаку, работающий за логарифмическое время.

Содержание

Принцип работы [ править ]

Двоичный поиск заключается в том, что на каждом шаге множество объектов делится на две части и в работе остаётся та часть множества, где находится искомый объект. Или же, в зависимости от постановки задачи, мы можем остановить процесс, когда мы получим первый или же последний индекс вхождения элемента. Последнее условие — это левосторонний/правосторонний двоичный поиск.

Правосторонний/левосторонний целочисленный двоичный поиск [ править ]

Использовав эти два вида двоичного поиска, мы можем найти отрезок позиций [math][l,r][/math] таких, что [math]\forall i \in [l,r] : a[i] = x[/math] и [math] \forall i \notin [l,r] : a[i] \neq x [/math]

Пример: [ править ]

Если искомого элемента в массиве нет, то правосторонний поиск выдаст максимальный элемент, меньший искомого, а левосторонний наоборот, минимальный элемент, больший искомого.

Алгоритм двоичного поиска [ править ]

Код [ править ]

Несколько слов об эвристиках [ править ]

Эвристика с завершением поиска, при досрочном нахождении искомого элемента

Заметим, что если нам необходимо просто проверить наличие элемента в упорядоченном множестве, то можно использовать любой из правостороннего и левостороннего поиска. При этом будем на каждой итерации проверять «не попали ли мы в элемент, равный искомому», и в случае попадания заканчивать поиск.

Эвристика с запоминанием ответа на предыдущий запрос

Применение двоичного поиска на некоторых неотсортированных массивах [ править ]

Время выполнения алгоритма — [math] O(\log n)[/math] (так как и бинарный поиск, и тернарный поиск работают за логарифмическое время с точностью до константы).

Мы имеем массив, образованный из двух отсортированных подмассивов, записанных один в конец другого. Запустить сразу бинарный или тернарный поиски на таком массиве нельзя, так как массив не будет обязательно отсортированным и он не будет иметь [math]1[/math] точку экстремума. Поэтому попробуем найти индекс последнего элемента левого массива, чтобы потом запустить бинарный поиск два раза на отсортированных массивах.

В случае же убывание-возрастание-убывание ( [math] \searrow \nearrow \searrow [/math] ) может быть, что будет неправильно найден минимум. Найдем правильный минимум аналогично поиску максимума в предыдущем абзаце.

Затем, в зависимости от типа нашего массива, запустим бинарный поиск три раза на каждом промежутке.

Переполнение индекса середины [ править ]

Источник

10. Бинарный поиск¶

Двоичный поиск, он же бинарный поиск или бинпоиск, он же алгоритм деления пополам или дихотомия — это целая серия алгоритмов, объединённых одной идеей. Мы их последовательно рассмотрим.

10.1. Вещественный двоичный поиск¶

10.1.1. Прочность нити на разрыв¶

Для начала рассмотрим следующую задачу — не совсем по программированию. Пусть у нас есть, например, нитка. Мы можем подвешивать к этой нитке различные грузы, при этом если мы подвесим слишком большой груз, то нитка порвётся. Соответственно, есть некоторая пороговая масса груза \(m_0\) такая, что от любой большей массы нитка рвётся, а от любой меньшей — нет. Поставим задачу определить эту пороговую массу.

Будем считать, что запасы нитки у нас достаточно велики — её хватит на проведение большого количества экспериментов. Будем также считать, что нитка абсолютно невесома (не рвётся под своей тяжестью) и однородна, т.е. для любого её куска пороговая масса одна и та же — все-таки у нас олимпиады по программированию, а не по физике [1]. Также будем считать, что нам доступны грузы абсолютно любой (неотрицательной, конечно) массы, с бесконечной точностью (т.е. что мы, например, можем сделать груз массы ровно \(42\pi+137.035999074\) грамм).

10.1.2. Общая идея¶

Итак, общая идея уже достаточно понятна. Пусть у нас есть некоторый критерий, определяющий, что некоторые вещественные числа являются в каком-то смысле «хорошими», а некоторые — «плохими», причём все хорошие идут до всех плохих. Нам надо определить пороговое значение, где хорошие числа становятся плохими.

Общий алгоритм выглядит почти так же, как и приведённый выше:

Как и в примере выше, нам совершенно не важно, является ли пороговое число «хорошим» или нет.

10.1.3. Поиск корня функции¶

10.1.4. А если функция не монотонна или не непрерывна?¶

Общее всех этих случаев — что у нас изначально \(f(l)\) и \(f(r)\) разных знаков. Если это не так, то мы вообще не можем гарантировать наличия нуля, и метод деления пополам нам особенно не поможет. Можете подумать, какой у него будет результат, если условие разных знаков изначально не выполнено.

10.1.5. Что выводить?¶

10.1.6. Решение без \(\varepsilon\) ¶

Заодно, в частности, если вы делаете большое фиксированное количество итераций, то вы по сути получаете наилучшую точность, которую можно получить на компьютере с учетом используемого типа данных для вещественных чисел. Просто в какой-то момент \(l\) и \(r\) начнут отличаться в последней хранимой цифре, окажутся двумя соседними числами, которые могут храниться в данном типе данных, и дальше меняться не будут. В итоге вы получаете в ответе столько верных цифр, сколько в принципе возможно получить, более точного ответа с вашим типом данных вы в принципе не сможете получить.

10.1.7. Выбор \(l\) и \(r\) ¶

Как уже многократно говорилось, надо выбрать \(l\) и \(r\) так, чтобы \(l\) было «хорошим», а \(r\) — «плохим» (в случае с функцией — чтобы \(l\) и \(r\) были разных знаков). В общем случае это нетривиальная задача, в каждом конкретном случае надо думать особо.

Отдельно отмечу важный момент, касающийся бинарного поиска в целом — код бинарного поиска никогда не вычисляет значения функции в начальных границах ( \(f(l_0)\) и \(f(r_0)\) ), поэтому не страшно, что в случае с тангенсом функция в этих точках обращается в бесконечность.

10.2. Целочисленный двоичный поиск¶

Теперь перейдём к целочисленному бинарному поиску — поиску, в котором нам требуется найти некоторое целое число. Как ни странно, этот вариант оказывается сложнее вещественного поиска.

10.2.1. Опять порог разрыва нити¶

Для начала вернёмся к нашей задаче про прочность однородной невесомой нити. Но пусть теперь мы не можем подвесить к ней произвольный груз, а только груз массой в целое число грамм.

Прежде чем обсуждать, как решить эту задачу, обсудим, а что же, собственно, мы хотим получить? Бессмысленно теперь спрашивать критическую массу, т.к. она, вообще говоря, может быть вещественной. Но понятно, что у нас до некоторой массы ( \(m_*\) ) включительно нить рваться не будет, а вот начиная с массы \((m_* + 1)\) включительно и выше нить рваться будет. Поэтому нас будут интересовать именно две такие соседние массы \(l\) и \(r\) (соседние в том смысле, что \(r = l + 1\) ), что при массе \(l\) нить ещё не рвётся, а вот при массе \(r\) нить уже рвётся.

Как это делать? Кажется достаточно просто:

Итак, правильное решение задачи о целочисленном пределе прочности нити следующее:

10.2.2. Риск зацикливания¶

Но это очень важный момент. Если бы мы в какой-нибудь другой задаче написали бы цикл с другим условием

10.2.3. Общий случай¶

Аналогично вещественному двоичному поиску, тут тоже можно сформулировать алгоритм в общем случае. Итак, пусть у нас все целые числа разделены на две категории: «хорошие» и «плохие», при этом все хорошие идут до всех плохих, и мы знаем два числа: \(l_0\) — хорошее, и \(r_0\) — плохое.

Обратите внимание на ещё один важный момент. Приведённая выше программа никогда не будет вызывать функцию good с аргументами \(l_0\) или \(r_0\) ; важны только значения для промежуточных аргументов. Проще говоря, не важно, являются ли \(l_0\) и \(r_0\) хорошими или плохими числами — главное, чтобы между ними все хорошие шли до всех плохих. Фактически, мы мысленно подразумеваем, что \(l_0\) хорошее, а \(r_0\) плохое, но никогда это не проверяем. (Аналогично замечанию про тангенс выше в вещественном поиске.) Это нам будет важно в дальнейшем.

10.2.4. Что же является ответом?¶

Главное — что бинарный поиск вам нашёл границу «хороших» и «плохих» чисел, а что делать с этим дальше — уже ваше дело, зависит от задачи.

10.3. Поиск элемента в отсортированном массиве¶

10.3.1. Постановка задачи¶

Нередко, когда говорят о бинпоиске, имеют в виду именно эту задачу, но написать программу двоичного поиска элемента в отсортированном массиве, не учитывая то, что говорилось выше, — очень сложно [2].

Итоговый код получается следующий:

10.3.2. А что является тут ответом?¶

10.3.3. Левый и правый двоичные поиски¶

Из написанного выше несложно видеть, что, если искомое число в массиве есть, то мы не просто его найдём, но найдём самое левое (т.е. с наименьшим индексом) его вхождение.

Эти два варианта двоичного поиска называются левым и правым двоичным поиском.

10.3.4. Бинарный поиск как поиск места вставки¶

10.3.5. Ошибки в целочисленном бинарном поиске¶

Выше приведён очень простой и надёжный код поиска элемента в отсортированном массиве. В принципе, есть много разных других способов реализации, но многие из них сложнее или менее надёжные; не случайно эта задача считается весьма сложной.

Упомяну несколько вариантов кода, которые могут показаться разумными, но которые тем не менее имеют те или иные недостатки или вообще не работают.

10.4. Деление пополам по ответу¶

Итак, мы научились решать задачу, в некотором смысле обратную данной: по размеру доски мы научились определять количество дипломов. Но нам надо решить обратную задачу: по количеству дипломов найти размер доски.

Понятно, что чем больше будет размер доски, тем больше будет дипломов, и наоборот. Поэтому мы можем применить бинарный поиск. А именно, мы знаем, что доска размера 0 нам точно не подходит. Доска некоторого большого размера (например, \(Nw+Nh\) ) нам точно подходит. Объявим все размеры досок, которые нам подходят, «хорошими», а все размеры, которые нам не подходят — «плохими». Ясно, что все плохие числа идут до хороших. Поэтому делением пополам мы можем найти границу — два соседних числа, одно из которых плохое, а другое — хорошее. Далее очевидно, что это хорошее число и будет ответом:

Это и называется делением пополам по ответу. Вы пишете функцию, которая проверяет, может ли быть некоторое число ответом. И вы доказываете, что все ответы идут после всех «не-ответов». Поэтому вы объявляете все ответы «хорошими», «не-ответы» — плохими, и запускаете деление пополам для поиска границы.

Аналогично можно писать деление пополам по ответу и в случаях, когда ответ является вещественным числом.

(Вообще, мы фактически вернулись к тому же, с чего начинали: если вы вспомните задачу о разрыве нитки, которую мы обсуждали вначале, то фактически там мы и реализовывали деление пополам по ответу.)

10.4.1. Деление пополам по ответу и инвертирование задачи¶

То есть еще раз: бинпоиск по ответу позволяет вам обратить, инвертировать задачу, сделав искомую величину заданной, а заданную — искомой.

Примеры: если в задаче спрашивается «за какое минимальное время можно изготовить \(N\) предметов» — сразу думайте и над задачей «сколько максимум предметов можно изготовить за заданное время \(T\) ». Если в задаче спрашивается «за какое минимальное количество рейсов можно перевезти \(N\) человек» — сразу думайте и над задачей «сколько максимум человек можно перевести за \(K\) рейсов».

Например, если спрашивается «какое минимальное количество деталей нужно, чтобы собрать головоломку» — сразу думайте и над задачей «можно ли собрать головоломку с помощью \(N\) деталей». Если спрашивается «какая минимальная длина шага должна быть у мюмзика, чтобы он мог дойти до финиша» — сразу думайте и над задачей «можно ли дойти до финиша, если длина шага \(X\) ». И т.д.

Основное, что тут важно — что зависимость должна быть монотонной. Во многих задачах это получается естественно, но если зависимость \(X\) от \(Y\) не монотонная, то бинпоиск вам не особо поможет.

Источник

Видео

Бинарный поиск в языке си || от университета к кремниевой долиныСкачать

Алгоритм бинарного/двоичного поиска. (Binary search algorithm)Скачать

Просто о сложном: Бинарный поискСкачать

34. Поиск в массиве. Часть 2 (Бинарный поиск)Скачать

Бинарный поиск на языке C++Скачать

Гарвард CS50 на русском. 1. Короткие видео. 3. Бинарный поискСкачать

Бинарное дерево (+реализация на С)Скачать

Алгоритм Бинарного поиска (Binary Search) | JavaScriptСкачать

С++ для 8 класса, урок 13 (Бинарный поиск в массиве)Скачать

Лекция 73: Реализация функции бинарного поиска на языке C с доказательством правильности программыСкачать