Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников Языки

Видео:Определение предела на языке эпсилон-дельта 2Скачать

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2

Язык эпсилон дельта для чайников: Ответы к ГОСу / 5Ответы к ГОСу / 5

5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке «эпсилон-дельта» и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие по некоторому закону вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1, x2,…, xn. = <xn> называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значеня.

Число A называется пределом последовательности при Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников Язык эпсилон дельта для чайниковесли  >0  такой номер N0>0:  n > N0: Язык эпсилон дельта для чайников

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный Язык эпсилон дельта для чайников, то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A =  или lim не ) последовательность называется расходящейся.

Точка x0 называется предельной точкой множества M, если в  окрестности x0 содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности Язык эпсилон дельта для чайников, а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности Язык эпсилон дельта для чайников.

Язык эпсилон дельта для чайников– неконечный, Язык эпсилон дельта для чайников– неконечный.

Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число).

Последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для Язык эпсилон дельта для чайников

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если Язык эпсилон дельта для чайников, то последовательность <xn> называется бесконечно малой.

Если Язык эпсилон дельта для чайников– бесконечно большой.

Связь неограниченная Язык эпсилон дельта для чайниковбесконечно большая: бесконечно большая  неограниченная

бесконечно большая  неограниченная. Обратное не верно:

Язык эпсилон дельта для чайников

не бесконечно большая

Функцией y = f(x) называется закон, по которому каждому значению xD(f)R ставится в соответствие единственное действительное число yR.

При этом множество значений аргумента D(f) называется областью определения функции, а множество значений <y | y = f(x), xD(f)> называется множеством значений функции.

Функция может быть задана аналитически (то есть формулой), таблично или графически.

Язык эпсилон дельта для чайников

Если функция задана таблично, то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию, заменяя функцию линейной, квадратичной на участке между двумя значениями аргумента.

Пусть точка x0 является предельной точкой области определения функции, тогда

Язык эпсилон дельта для чайников для  > 0  > 0:  xD(f)  O(x0) <x0>: f(x)  O(A)

Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников для  > 0  > 0:  x: Язык эпсилон дельта для чайниковЯзык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников для  > 0  > 0:  x: Язык эпсилон дельта для чайниковЯзык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников Язык эпсилон дельта для чайниковЯзык эпсилон дельта для чайников

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников.

На языке пределов: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она:

1) определена в этой точке;

2) Язык эпсилон дельта для чайников

На языке ε и δ: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

1) Язык эпсилон дельта для чайников

1. Если x0 является предельной точкой D(f)

fЯзык эпсилон дельта для чайников(x0+) = A 2 / |x|)

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на множестве X.

Сумма Язык эпсилон дельта для чайников, произведение Язык эпсилон дельта для чайников, частноеЯзык эпсилон дельта для чайников, суперпозиция Язык эпсилон дельта для чайниковесть функция непрерывная.

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

Исследовать на непрерывность, точки разрыва

Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников

Функция элементарна. В своей области определения непрерывна

0 – предельная точка для ОДЗ. Но функция не определена в 0 Язык эпсилон дельта для чайниковэто точка разрыва.

Язык эпсилон дельта для чайников– разрыв II рода.

Язык эпсилон дельта для чайников– неэлементарная функция

Определение непрерывности функции по Гейне

Функция непрерывна в точке x0, если:

1. она определена в точке x0, то есть Язык эпсилон дельта для чайников;

2. для  Язык эпсилон дельта для чайниковпоследовательность Язык эпсилон дельта для чайников.

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Источник

Видео:[Calculus | глава 7] Пределы, правило Лопиталя и эпсилон-дельта определениеСкачать

[Calculus | глава 7] Пределы, правило Лопиталя и эпсилон-дельта определение

Язык эпсилон дельта для чайников: Язык эпсилон дельта для чайниковЯзык эпсилон дельта для чайников

Французский писатель Альфонс Алле (1854–1905) говорил:

«Бесконечность велика, особенно ближе к концу»,

тем самым не без доли юмора показав, что мы не можем воспринимать бесконечность как таковую и всегда представляем её в сравнении с чем-либо. Иными словами, человек может рассматривать бесконечность только в привязке к чему-то конечному, так как сам имеет конечную природу. Когда мы смотрим вдаль, мы теряемся и погружаемся в философские размышления, домыслы и гипотезы и, в лучшем случае, формируем к бесконечности какое-то отношение, не всегда рационально обоснованное. Поэтому неудивительно, что бесконечность была, есть и будет темой философских, научных и религиозных споров, ведь философия, наука и религия — три огромные области человеческой мысли, границы между которыми не всегда чётко определены.

Когда большинство людей думают о бесконечности, они испытывают головокружение, ведь она неизменно ускользает от нас, как бы мы ни старались. И это в самом деле так. Возможно, бесконечность именно потому вызывает такой интерес, что представляет собой неисчерпаемый источник вдохновения. История её изучения в математике настолько любопытна, что можно говорить о «математике бесконечности» и смело утверждать, что в математике бесконечность перестала быть чем-то неясным и превратилась в полноценный математический объект, подобный числам и геометрическим фигурам.

Но любой математический объект должен быть чётко определён. В этом смысле математик подобен охотнику: он исследует незнакомую местность, выслеживает добычу, выжидает, берёт её на мушку и, тщательно прицелившись, стреляет.

Это же произошло и с бесконечностью, причём она была непростой добычей — потребовалось больше трёх тысяч лет, чтобы поймать её. В погоне за бесконечностью учёным пришлось петлять между догмами и парадоксами, вступать на территорию греческой философии, разбираться в хитросплетениях религиозных измышлений и секретов тайных обществ. Однако бесконечность можно было встретить и в геометрии, и в лабиринте чисел, более привычных охотникам-математикам.

Мы проследим, как размышляли о бесконечности величайшие мудрецы всех времён и народов, будь то философы, богословы, физики или математики. В погоне за бесконечностью некоторые из них утратили рассудок, другие поплатились жизнью, взойдя на костёр по приговору инквизиции, и всё это — из-за идеи. Однако мы знаем, что одна идея способна радикально изменить наше восприятие мира и пошатнуть основы верований.

Эта тема интересует не только математиков, но и философов, при этом и математическая, и философская точка зрения на бесконечность должны быть согласованы между собой. Ведь, как сказал французский математик Жан-Шарль де Борда (1733–1799),

«без математики нельзя глубоко проникнуть в суть философии, без философии нельзя глубоко проникнуть в суть математики, а без них обеих нельзя понять суть чего бы то ни было».

Глава 1. Что такое бесконечность

Понятие бесконечности — это неотъемлемая часть человеческой мысли. Весьма вероятно, что мы имеем некое врождённое неясное представление о бесконечности, которое постоянно сопоставляем с противоположным ему чётким представлением о конечности, являющейся частью нашей природы. В философии и богословии размышления о бесконечности могут быть необязательными и ситуативными, но в математике её исследование всегда было и остаётся насущной необходимостью.

Бесконечность в повседневной жизни

Известен анекдот о некоем преподавателе математики, которому нужно было в первый раз объяснить студентам, что такое бесконечность. Он взял коробку с мелками, достал один и начал рисовать прямую на доске. Дойдя до края доски, он продолжил вести линию по стене, затем по полу и, не останавливаясь, вышел из аудитории и исчез из вида в конце коридора, продолжая вести линию. Удивлённые студенты ждали, что будет дальше. Спустя некоторое время прозвенел звонок к концу лекции.

Преподаватель исчез. Последним, кто его видел, был вахтёр. Преподаватель шёл по улице и, не отрывая мела от асфальта, по-прежнему чертил линию. Прошло три дня, и руководство университета решило найти преподавателю замену. Через несколько месяцев, к удивлению студентов, преподаватель вернулся. Он оброс бородой, за спиной у него был рюкзак, в руке он держал кусочек мела. Он вошёл в класс, по-прежнему чертя на полу линию, дошёл до доски и, наконец, остановился.

Усталый преподаватель повернулся к студентам и сказал: «Эта линия невероятно велика, но она — ничто в сравнении с бесконечностью».

Неизвестно, какое решение приняло руководство университета — возможно, преподавателя поместили в лечебницу. Также неизвестно, поняли ли студенты, что такое бесконечность. Однако преподавателю удалось выразить одно: бесконечность неизбежно связана с чем-то исключительным и даже шокирующим.

Я впервые осознал, что такое бесконечность, ребёнком, когда оказался между двумя параллельными зеркалами в кабине лифта. «Что это?» — спросил я. Отец взял меня за руку и ответил: «Это бесконечность». С тех пор бесконечность для меня подобна далёкой, удивительной и пугающей стране, по которой лучше всего путешествовать, если кто-то держит тебя за руку.

Для всех нас бесконечность находится где-то далеко, в совершенно недостижимом месте, и в лучшем случае вызывает страх, в худшем — безмерный ужас. Однако альтернатива бесконечности также не слишком обнадёживает. Если Вселенная конечна, что находится за её пределами? Ответ: Ничто, с большой буквы. И это «Ничто» ещё невероятнее, чем бесконечность.

Язык эпсилон дельта для чайников

Иллюстрация Гюстава Доре к «Аду» — первой части «Божественной комедии» Данте Алигьери. Дантовский ад был синонимом бесконечных страданий и вечных мук.

Определение из словаря

По определению из словаря, «бесконечность» обозначает нечто чрезмерно великое, необычайно большое или продолжительное. Однако мы часто используем это слово, говоря «бесконечное пространство», «бесконечно много раз», «бесконечное время», «бесконечное терпение». Все мы понимаем смысл этих выражений, но если мы попробуем разобраться, что же имеется в виду на самом деле, то увидим, что наши способности размышлять о бесконечности ограничены, и мы быстро переходим к банальностям и клише, которые никак не помогают нам приблизиться к пониманию сути бесконечности. Это понятие имеет философскую природу: размышлять о бесконечности означает философствовать, а для таких размышлений нужно иметь какую-то отправную точку. Проще всего будет обратиться к словарю.

В толковом словаре русского языка слово «бесконечность» имеет четыре значения.

1. Отсутствие конца, предела наличию каких-либо однородных объектов в пространстве или последнего момента осуществления каких-либо процессов.

Источник

Видео:Предел ФУНКЦИИ по КОШИ (определение). Язык "эпсилон - дельта"Скачать

Предел ФУНКЦИИ по КОШИ (определение). Язык "эпсилон - дельта"

Язык эпсилон дельта для чайников: Язык эпсилон дельта символыЯзык эпсилон дельта символы

Язык эпсилон дельта для чайников

ΐΑΒΓΔΕΖΗΘ
ΰαβγδεζηθ
ХарактеристикиНазваниеΔ: greek capital letter delta
δ: greek small letter deltaЮникодΔ: U+0394
δ: U+03B4HTML-кодΔ‎:

Видео:✓ Предел функции. Определение предела функции "по Коши" и "по Гейне" | матан #014 | Борис ТрушинСкачать

✓ Предел функции. Определение предела функции "по Коши" и "по Гейне" | матан #014 | Борис Трушин

Язык эпсилон дельта для чайников: Использование [ править | править код ]Использование [ править | править код ]

Прописная буква Δ используется как символ для обозначения:

Строчная буква δ используется как символ для обозначения:

Также с греческой буквой сходны другие символы, употребляемые в математике:

задан 25 Фев ’17 22:40

Романенко
183 ● 2 ● 7
60&#037 принятых

@Романенко: Вы бы уточнили, что конкретно Вас интересует. Тогда можно было бы сделать пояснения. Нужно разъяснить смысл стандартного определения предела функции в точке, или что-то другое?

Просто прокомментирую определение предела функции (вопроса не понял…). У каждой последовательности есть «хвост», в котором значения величины не выходят за границы промежутка определённого размера. Рассматриваем две такие последовательности: в одной последовательности каждый следующий элемент «ближе» к искомой точке «входной» переменной, чем предыдущий; а другая последовательность образована значениями функции для этих значений «входной» переменной. Соответствующие друг другу размеры промежутков, где заключены все значения величин в «хвостах» последовательностей, — это и есть эпсилоны и дельты.

@abracadabra10, а как величина может выходить за границы промежутка? и что значит :»в анализе неуч?»

@abracadabra10 а, ну ясно,т.е. определение говорит,что если задана послед-ть и она стремится к определенному числу,то она за определенные пределы(промежуток) этого числа не выйдет?

@Романенко: это верно с той оговоркой, что за пределы указанного промежутка последовательность не выйдет, начиная с некоторого достаточно большого номера своего члена. Начальные значения (их всегда конечное число) могут при этом вести себя как угодно.

$%lim_ /x>$%. Одна последовательность — это иксы. Чётко указать один следующий элемент для каждого предыдущего нельзя, но, во всяком случае, если одно число по модулю меньше другого, то оно в последовательности дальше. Вторая последовательность — это игреки. Каждому эпсилону, за границы которого рядом с единицей не должен выходить хвост игреков, соответствует дельта, в границах которой рядом с нулём навсегда остаётся хвост иксов. Какой бы маленький ни был эпсилон, всегда можно выделить такой хвост в последовательности иксов, который отправит значения функции внутрь…

Подумал ещё раз… Эти мои рассуждения — это костыли для «эпохи потенциальной бесконечности»… Если принимать актуальную бесконечность, то всё намного проще получается: никаких «хвостов» и никаких «обещаний». Так что прошу прощения за «философию».

Означает разговор в режиме «студента со студентом». Два непонимающих могут здорово друг другу помочь иногда.

Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ История языка эпсилон-дельта от Коши до Вейерштрасса // Галина Синкевич

Язык эпсилон дельта для чайников

Язык «ε–δ» возник в работах математиков XIX века. Хотя обозначения впервые ввёл Коши, эпсилонтика как метод сформировалась в лекциях Вейерштрасса.

Больцано в 1817 и Коши в 1821 году дали определения предела в качественной форме и определения непрерывной функции на языке приращений; Коши в 1823 году применил ε и δ при улучшении доказательства Ампера теоремы о среднем, но Коши использовал ε и δ как конечные оценки погрешности, где δ не зависит от ε.

Процесс осознания понятий непрерывности и равномерной непрерывности функции шёл сложным путём в работах Стокса, Зайделя, Римана, Дирихле, Раабе и многих других. В полной мере метод «эпсилон-дельта» проявился в определении предела только у Вейерштрасса в 1861 году. Легенда о принадлежности метода Огюстену Коши возникла в начале XX века в работе Лебега и затем многократно повторялась. Обращение к первоисточникам позволило исправить эту историческую ошибку.

Галина Ивановна Синкевич, кандидат физико-математических наук, доцент СПбГАСУ.

Семинар по истории математики
г. Санкт-Петербург, ПОМИ, Фонтанка 27, ауд. 106.
4 июня 2015.

Источник

Видео:Про епсилон-дельта определения.Скачать

Про епсилон-дельта определения.

Ответы к ГОСу / 5

5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке «эпсилон-дельта» и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие по некоторому закону вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1, x2,…, xn. = <xn> называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значеня.

Число A называется пределом последовательности при Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников Язык эпсилон дельта для чайниковесли  >0  такой номер N0>0:  n > N0: Язык эпсилон дельта для чайников

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный Язык эпсилон дельта для чайников, то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A =  или lim не ) последовательность называется расходящейся.

Точка x0 называется предельной точкой множества M, если в  окрестности x0 содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности Язык эпсилон дельта для чайников, а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности Язык эпсилон дельта для чайников.

Язык эпсилон дельта для чайников– неконечный, Язык эпсилон дельта для чайников– неконечный.

Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число).

Последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для Язык эпсилон дельта для чайников

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если Язык эпсилон дельта для чайников, то последовательность <xn> называется бесконечно малой.

Если Язык эпсилон дельта для чайников– бесконечно большой.

Связь неограниченная Язык эпсилон дельта для чайниковбесконечно большая: бесконечно большая  неограниченная

бесконечно большая  неограниченная. Обратное не верно:

Язык эпсилон дельта для чайников

не бесконечно большая

Функцией y = f(x) называется закон, по которому каждому значению xD(f)R ставится в соответствие единственное действительное число yR.

При этом множество значений аргумента D(f) называется областью определения функции, а множество значений <y | y = f(x), xD(f)> называется множеством значений функции.

Функция может быть задана аналитически (то есть формулой), таблично или графически.

Язык эпсилон дельта для чайников

Если функция задана таблично, то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию, заменяя функцию линейной, квадратичной на участке между двумя значениями аргумента.

Пусть точка x0 является предельной точкой области определения функции, тогда

Язык эпсилон дельта для чайников для  > 0  > 0:  xD(f)  O(x0) <x0>: f(x)  O(A)

Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников для  > 0  > 0:  x: Язык эпсилон дельта для чайниковЯзык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников для  > 0  > 0:  x: Язык эпсилон дельта для чайниковЯзык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников Язык эпсилон дельта для чайниковЯзык эпсилон дельта для чайников

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников.

На языке пределов: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она:

1) определена в этой точке;

2) Язык эпсилон дельта для чайников

На языке ε и δ: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

1) Язык эпсилон дельта для чайников

1. Если x0 является предельной точкой D(f)

fЯзык эпсилон дельта для чайников(x0+) = A 2 / |x|)

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на множестве X.

Сумма Язык эпсилон дельта для чайников, произведение Язык эпсилон дельта для чайников, частноеЯзык эпсилон дельта для чайников, суперпозиция Язык эпсилон дельта для чайниковесть функция непрерывная.

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

Исследовать на непрерывность, точки разрыва

Язык эпсилон дельта для чайников

Язык эпсилон дельта для чайников

Функция элементарна. В своей области определения непрерывна

0 – предельная точка для ОДЗ. Но функция не определена в 0 Язык эпсилон дельта для чайниковэто точка разрыва.

Язык эпсилон дельта для чайников– разрыв II рода.

Язык эпсилон дельта для чайников– неэлементарная функция

Определение непрерывности функции по Гейне

Функция непрерывна в точке x0, если:

1. она определена в точке x0, то есть Язык эпсилон дельта для чайников;

2. для  Язык эпсилон дельта для чайниковпоследовательность Язык эпсилон дельта для чайников.

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Источник

💥 Видео

Старт курса по высшей математике. Предел последовательности. Свойства. Дельта-эпсилон языкСкачать

Старт курса по высшей математике. Предел последовательности. Свойства. Дельта-эпсилон язык

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1Скачать

Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1

Дельта альфа альфа штрих | МФТИСкачать

Дельта альфа альфа штрих | МФТИ

21. Доказательство предела функции по определению, примеры 1,2.Скачать

21. Доказательство предела функции по определению, примеры 1,2.

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2Скачать

Определение предела на языке эпсилон-дельта 2

Матан. Пределы для успешной сдачи зачёта | TutorOnline МатематикаСкачать

Матан. Пределы для успешной сдачи зачёта | TutorOnline Математика

20. Предел функции в точке, определение по Гейне и по Коши.Скачать

20. Предел функции в точке, определение по Гейне и по Коши.

История языка эпсилон-дельта от Коши до Вейерштрасса // Галина СинкевичСкачать

История языка эпсилон-дельта от Коши до Вейерштрасса // Галина Синкевич

Доказать, что предел функции равен значению. Найти дельта.Скачать

Доказать, что предел функции равен значению. Найти дельта.

Основы программирования контроллеров за 5 минутСкачать

Основы программирования контроллеров за 5 минут

✓ Предел последовательности | матан #006 | Борис ТрушинСкачать

✓ Предел последовательности | матан #006 | Борис Трушин

Шектің Эпсилон-Дельта тіліндегі анықтамасы.Скачать

Шектің Эпсилон-Дельта тіліндегі анықтамасы.

#1 Геом. интерпретация пределов / Эпсилон-ДельтаСкачать

#1 Геом. интерпретация пределов / Эпсилон-Дельта

Вся суть мат. анализа за 3 мин 14 сек!Скачать

Вся суть мат. анализа за 3 мин 14 сек!
Поделиться или сохранить к себе:
Технологии | AltArena.ru
Добавить комментарий

Нажимая на кнопку "Отправить комментарий", я даю согласие на обработку персональных данных, принимаю Политику конфиденциальности и условия Пользовательского соглашения.

Комментарии: 0